一様分布論の解析的研究

• 研究課題/領域番号: 22K03339
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 福山 克司 神戸大学, 理学研究科, 教授 (60218956)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2025-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円); 2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
• キーワード: 差異量 / 重複大数の法則 / 一様分布論 / 間隙級数論

研究開始時の研究の概要

数列の小数部分の散らばり具合の解析の理論である一様分布論は、乱数や数値解析の基礎理論として応用も広い。一様分布論の測度的理論は、等差数列のようなエントロピーの小さい変換から生成されるのものについては整数論やエルゴード論の手法による研究が大きく成果をあげている。
本研究では等比数列のようなエントロピーの大きい変換に由来するものについて、確率論的手法を用いて経験分布過程の極限定理として一様分布論を取り扱う。Fourier 解析に現れる間隙級数論の手法をも用いて最近ようやくその全貌を表しつつある古典列の一様分布論の測度的理論の解析的研究を引き続き推進する。

研究実績の概要

発散する等比数列に関し差異量の重複大数の法則に現れる上極限がほとんどすべての初期値に対して等しくなる定数の特徴づけに関し、その定数を具体的に表示する一般公式を以前与えており、大きな公比の場合にその公式が適用できることを証明してあったが、小さい公比に対しては様々な反例が存在することも具体的に示してきている状況下において、公式の成立条件に関する研究を進めるための数値実験に取り組み、その成立条件の設定の方法に関し
Diophantus近似の立場からの表示を考え実験結果と照合することにより、どのような形の定式化が可能であり、どのような閾値が適当であるかに関する考察を行ってきたところであった。
この方向での理論的な研究を推進しほぼ完全な結果が得られた。具体的には公比が有理冪根であり、その有理数が偶数/奇数である場合には4以上の場合に限り公式が成り立ち、奇数/偶数の場合には分子引く分母の3を法とした場合分けを行う必要がある。近似的には１に6の平方根の半分を加えた値Γが閾値となっていることが、正確には分子ひく分母の3で除した余りが2の場合は分子から分母のΓ倍を引いた値が47から6の平方根の21倍を引いた値を38で除したものより大きい場合に公式が成立し、それ以外の場合は不成立である。分子ひく分母を3で除した余りが1である場合には分子から分母のΓ倍を引いた値が8から6の平方根の6倍を引いた値を19で除したものより大きい場合に公式が成立しそれ以外の場合は不成立といった結果が得られている。

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

研究成果がまとまり、論文の投稿に至ったため。

今後の研究の推進方策

ただ一か所残った判定不能の部分について数値実験を行いどのような状況になっているかについての研究を行う。間隙級数に関する大偏差原理の研究、特に非整数の場合の結果について発見的考察を行う。多次元のRiesz-Raikov 型の列に関連して、差異量の漸近挙動の研究を行う。