| 研究課題/領域番号 |
22K03345
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
天羽 隆史 福岡大学, 理学部, 准教授 (10737539)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2026年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2025年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2024年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | ゲージ変換 / 制御型 Loewner--Kufarev 方程式 / 2D Shape / 繰り込み / KL divergence / 変分推論 / テンソルネットワーク / ニューラルネットワーク / 深層学習 / Loewner-Kufarev方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は、様々な確率・統計モデルの記述について新たな視点を与えることを目的とする。この研究は主に次の三つから構成される。(a) 制御型 Loewner-Kufarev 方程式の研究 (b) 深層学習のフレームワークを用いた統計力学モデルの記述 (c) 層幅無限大の単層パーセプトロンへの確率解析学の応用である。確率解析学における従来の研究を含みつつ、数理科学の他分野を巻き込んでさらなる視点を提供し得る本研究は、数学の研究の中でも極めて挑戦的な意義を持つ。
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| 研究実績の概要 |
昨年度、統計学の指導原理とも言える Kullback--Leibler divergence 最小化に基づいて推定分布に対する真の分布の Kullback--Leibler divergence の第一・第二変分公式を導出し、対応する Euler--Lagrange 方程式を解くことで新たな変分推論の方法を考案したが、本年度はこの妥当性を観察するべく数値実験を行った。いくつか数値実験をしてみると、多峰性を持つ確率分布についてもうまくピークを捉えることが見てとれた。しかし数値実験を行う以上は事前分布の台は有界でなければならず、この台の選び方について機械的な手続きは与えていない点は今後の研究の課題となり得る。とかく有限次元の統計モデルを出発点としても、それを無限次元の統計モデルへとリフトすることで非常にヴァリエーションに富んだ確率分布を表現でき、これが妥当な推定に繋がっていることが窺える。本研究結果は現在、論文にまとめて投稿中の段階である。
またニューラルネットワークの機能については未だにブラックボックスと言われる部分があるが、これを少しでも明らかにするため、まずは Bernstein 多項式のアイデアに基づくネットワークを構成し、その学習過程のダイナミクスについて研究することを考え始めた。このネットワークのパラメータについては、設定から自然に選ばれるパラメータがあり、これは古典的な大数の法則の観点から区間 [0,1] 上の任意の連続関数を近似する。しかしこのネットワークのパラメータについては、通常の最適化の議論により最適なものを別に選ぶことができる。この最適パラメータについての明示公式を得るには、計算途中に現れた高い対称性を持つ行列の逆行列を計算する必要がある。一見よく知られた行列のような美しさを備えた成分からなるが、既存の文献をあたってみても全く見当たらないため、現在はこの行列について腰を据えて調べているところであり、来年度はこれについて決着をつけたい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
昨年度は申請時に提出した本研究の「研究目的・研究方法」に従い、予定したほぼすべてのトピックについて満遍なく取り組めていたが、その中でより突き詰める価値があると見受けられる研究課題が浮上し、そちらに重きを移して研究している状況であるため。
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| 今後の研究の推進方策 |
2024年度は現在研究中のベルンシュタインネットワークの学習に現れる行列の性質を明らかにし、学習の漸近挙動について解明したい。
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