| 研究課題/領域番号 |
22K03346
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
洞 彰人 北海道大学, 理学研究院, 教授 (10212200)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 漸近的表現論 / 分岐グラフ / スケール極限 / ヤング図形 / 極限形状 / 対称群のスピン表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
漸近的表現論を旗印にして、確率論と表現論の融合的な研究を行う。表現の分岐則という良質の枝分れ構造が紡ぎだすランダムな現象の理解を目標にする。群論的な意味をもつヤング図形の集団や、群の帰納的な増大列に付随する分岐グラフを主な舞台にする。主要なテーマとして、ランダムなヤング図形の種々のスケール極限として現れるマクロな極限形状の時間発展モデルと、分岐グラフ上の調和関数とマルチン境界の研究を挙げる。表現の漸近挙動と確率論における極限定理を表裏一体にとらえて双方向的な研究を進める。
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| 研究実績の概要 |
増大する群の帰納系に付随する分岐グラフは、既約表現の制限と誘導の分岐律を大域的に記述する数学的対象であり、非常に豊富な統計的構造を内包している。群の作用による対称性を指導原理とするいわゆる調和解析の舞台として、広い汎用性を有するものである。本研究の目的は、このような分岐グラフに確率論の極限定理の光を当て、さまざまなレベルの漸近挙動を明らかにすることによって、巨大な群の表現にまつわる新しい調和解析を展開することである。具体的には、分岐律から自然に生じる既約表現の分類空間上のマルコフ連鎖を導入し、その連続的なスケール極限を解析することによって、分岐律の統計的な性質を浮かび上がらせることを試みる。このような動的モデルの観点は、本研究の大きな特徴のひとつと言える。ここ数年来の代表者の研究の中で、特に対称群の帰納系やヤング図形の極限形状に関わるモデルが大きな部分を占めている。極限形状とは、確率論の極限定理の手法をとおして、典型的な既約表現あるいは等型成分をヤング図形やマヤ図形の印象的な形として抽出するための数学的概念である。
今年度の研究でもっとも注力したのもこの極限形状のテーマに関するものである。中でも、対称群のスピン表現の分岐律から生じる分岐グラフ上のモデルを扱った。スピン表現は、通常の線形表現と密接な関連をもちながらも、複雑さと深みにおいてまったく別の様相を見せる面も有している。今年度の研究では、通常表現の分岐律がうみだすモデルとの関係だけでなく、これまで群の表現とは直接の関わりなく研究されてきた極限形状の問題との相互関係も検討しながら、対称群のスピン表現の分岐律に付随するヤング図形の動的な極限形状の問題にとり組んだ。同時に、対称群のスピン表現自身に関しても、ユツィス・マーフィーのスピン版を手がかりにした解析を行った。これらの成果をプレプリントにまとめ、arXivに投稿済である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
初年度の研究に続き、まだまだ途上段階にはあるが、今年度に得た知見を加えてプレプリントを作成することができた。また、複数回の研究発表を行うことができた。表現論と確率論が交錯する融合的な研究であることを認識し、着実な進歩が得られていると考える。
他方で、研究経費の使用の面で見ると、個人的に感染症からの脱却マインドが遅れているのかどうか、特に研究打合せのための旅費の経費の使用は予定を大幅に下回ったままである。この点は、次年度改善が可能であろう。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究は、研究計画調書や交付申請書に記載したとおりの予定にしたがって進めており、今後も特段の変更は考えていない。分岐グラフに付随する具体的な確率モデルの計算をとおして、群の表現論と確率論を融合した調和解析の展開を目指す方針である。群のスピン表現はいろいろな場面で未開拓の領域が多く、確率論と関わる研究が少ない現状であるので、幅広い観点をもって研究を進めたい。
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