| 研究課題/領域番号 |
22K03351
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
中島 誠 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (60635902)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | Edwards模型 / 確率量子化 / Dirichlet形式 / シュレディンガー作用素 / 相互作用 / KPZ方程式 / ランダム媒質中のディレクティドポリマー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ランダム媒中のディレクティドポリマー(DPRE) の1次元における超拡散性(媒質の影響によりブラウン運動に比べて遠くへいくこと)の証明, および確率熱方程式(SHE), KPZ方程式に対してその解の摂動の解析を行う. 超拡散性の証明のために自由エネルギーの解析を行い, その摂動係数と呼ばれる指数を求める. SHEおよびKPZ方程式の解の摂動はあるパラメータの領域においては中心極限定理が成り立つことが知られており, その領域の外における摂動に対する研究を行う.
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| 研究実績の概要 |
高分子模型の一種であるEdwards模型の研究を行った. 鎖状の高分子の形状は理想的にはランダムウォークまたはブラウン運動のような形になるが, 異なる分子(モノマー)は重ならないという物理的な制約など厳密には分子間の相互作用が生じるはずである. このような相互作用を考慮して定義した模型がEdwards模型である. この模型は自己交差局所時間と呼ばれる量を用いて相互作用を記述するが, ブラウン運動の場合, 空間次元が2次以上の場合には自己交差局所時間は厳密には定義できない. しかし様々な繰り込みを用いることによりEdwards模型を定義する確率測度(Edwards測度)は2,3次元の場合にも構成できている. 4次以上では自己交差がないため考えない.
2023年度は3次元Edwards測度の研究を行った. 3次元Edwards測度は相互作用を表すパラメータ(λ>0)ごとに定義されるが, これらはブラウン運動を定義するWiener測度と特異になっていることが知られている. この測度を定常分布とするマルコフ過程の構成をEdwards測度に対するquasi-invarianceと呼ばれる性質を調べることで達成した. これは確率量子化と呼ばれる場の量子論で使われる理論の一種である. Quasi-invarianceを示すことにより特異性から非自明であったEdwards測度の台がWiener空間と一致することもわかった.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
3次元Edwards模型の研究は, 低次元に比べて非常に難しい点が多い. それは自己交差局所時間の存在の有無であったり, Edwards測度がWiener測度と特異であるといった点から生じるものである. これらはブラウン運動の非再帰性とも関連しており自己交差するのは短時間の間でることがわかる.
そのため3次元Edwards模型の研究は20年以上なされていなかった. このような問題を解決した点は大きい. また未解決の問題も多く残っている.
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元Edwards模型における未解決問題のいくつかに取り組んでいく.
例えば, Edwards測度の構成を別の近似により構成する方法の考察と今回考えた確率測度との対応についてである. また確率量子化をDirichlet形式を用いて行ったが, 他にもSPDEを用いた構成なども考えられる. まずはこれらを解決していく.
また2次元ディレクティドポリマーの研究についても引き続き行っていく.
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