| 研究課題/領域番号 |
22K03356
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 山口大学 |
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研究代表者 |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| 研究分担者 |
柴 雅和 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 名誉教授 (70025469)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平 愛知工業大学, 工学部, 講師 (30803861)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | リーマン面 / 等角写像 / 圏 / タイヒミュラー空間 / 正則写像 / 接続 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
リーマン面は正則関数（複素微分可能な複素関数）の自然な定義域であり，正則写像は正則関数をリーマン面の場合に拡張した概念である。実関数の場合と異なり，正則写像ではごく僅かな解析学的・幾何学的条件が強い条件を課したことに相当する現象が見られる。この現象を，リーマン面の特徴である把手の存在を意識して研究する。把手を保つ正則写像の存在を，同様の性質を有する等角写像（１対１の正則写像）の存在に結びつける独自の手法を展開することにより研究を深化させる。
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| 研究実績の概要 |
Ｒを把手の数，すなわち種数ｇが有限な開リーマン面とする。Ｒを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体の集合をタイヒミュラー空間の枠組みで考察し，多くの成果を得てきた。では，ｇより大きな整数Ｇを選び，Ｒを等角に埋め込ませる種数Ｇの閉リーマン面全体の集合はどのような性質をもつであろうか。この問題を考察するのにふさわしい枠組みの構成を試みた。タイヒミュラー空間の点はリーマン面ではなくリーマン面と写像の組の同値類であるため，ＲからＳの中への連続写像の意味を明確にするために，以前の研究においては，種数ｇのリーマン面ＲとＲの把手に印を付けるある種の写像の組全体を考え，それらの同値類を対象とし，適切に定義された連続写像を射とする圏を導入した。種数ｇのタイヒミュラー空間はそれの充満部分圏として規定される。この考え方を一般化し，種数Ｇのリーマン面ＲとＲのＧ個の把手の中からｇ個を選んで印を付ける写像の組から圏を構成した。この圏は完備擬距離付け可能かつ可分である。擬距離０の元を同一視することにより，可分な完備距離付け可能空間Ｆが得られる。Ｆは圏ではないが，研究を展開する枠組みとしてふさわしいように思われる。Ｆの元のうち，種数Ｇの閉リーマン面から得られる点の集まりをＴとかく。Ｇがｇに等しいとき，Ｔは種数Ｇのタイヒミュラー空間と同相である。一般の場合，Ｔの普遍被覆空間は種数Ｇのタイヒミュラー空間になり，被覆写像が正則になるようにＴに複素構造を導入することが示された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究の枠組みの候補Ｆが明確になったから。Ｆが特異点を持たず，複素多様体になることが分かったことは重要な成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
種数ｇの開リーマン面を等角に埋め込ませる種数Ｇの閉リーマン面の全体がＦのどのような部分集合であるか調べる。その位相的性質や境界点の特徴付けなど調べてみたい課題が多くある。Ｇとｇが等しい場合に得られた結果をヒントに研究を進めていくことになろう。
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