研究課題/領域番号 |
22K03359
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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研究機関 | 慶應義塾大学 |
研究代表者 |
坂川 博宣 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60348810)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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キーワード | 相分離界面 / 確率場 / 漸近挙動 / Gibbs測度 |
研究開始時の研究の概要 |
統計力学における重要な問題の一つとして,例えば0度における水と氷といったように同一の温度で物質が二つ以上の異なる状態を取り得るという相転移の問題が挙げられる.相転移に伴って複数の相を分離する境界面,いわゆる界面が現れるが,平衡系においてこれは一般にGibbs確率場として定式化される.本研究ではこのような相分離界面や膜に関連したいくつかの長距離相関を持つ確率場を取り上げ,その漸近挙動に関する研究を通して界面・膜に関する物理現象の数学的な解析を目指す.
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研究実績の概要 |
本研究の目的は,物質の相転移によって現れる相分離界面や膜の確率モデルの漸近挙動に関する研究を通して界面・膜に関する物理現象の数学的な解析を目指すことにあったが、2022年度は相分離界面の確率モデルの一つであるGinzburg-Landau∇φモデルにおいて、外場として各点で独立同分布に従う確率変数を化学ポテンシャルとして加えたランダムなGibbs測度を考え、その下で界面が常に正となる事象、いわゆるエントロピー的反発の問題について研究を行った。 ∇φモデルでランダムな化学ポテンシャルを加えた場合の場の振る舞いについては、2000年代後半から研究がなされ、代表的なものとしてKulsuke, Cotar, van Enterらによる無限領域Gibbs測度の存在/非存在の研究などが挙げられるが、Dario-Harel-Peled(2023)によって場の揺動の詳細な評価が示されるなど最近大きく進展している。 また、界面モデルに対するエントロピー的反発の問題は1990年代の後半から現在までに∇φモデルやその特別な場合であるGauss自由場、さらには相互作用を一般化したΔφモデルやSOSモデルなどに対し様々な研究がなされている。 本研究では∇φモデルでランダムな化学ポテンシャルを加えた場合は外場の確率変数の末尾確率の振る舞いによって界面が常に正となる確率の漸近挙動が変化することを示すことができた。ただ、いくつかの評価において次元やポテンシャルの強い仮定を必要としており、論文とし発表するべく引き続き研究を継続することとした。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Ginzburg-Landau∇φモデルにおいて、外場として各点で独立同分布に従う確率変数を化学ポテンシャルとして加えたランダムなGibbs測度を考え、その下で界面が常に正となる事象、いわゆるエントロピー的反発の問題について研究を行い、ある程度非自明な結果を得ることができたため。
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今後の研究の推進方策 |
引き続き確率界面モデルの漸近挙動に関する解析を進める。 特に,対象としているGinzburg-Landau∇φモデルでは相互作用ポテンシャルの凸性を弱めた場合の研究などが最近急速に進展しており、そこで用いられている解析的な手法が考えている問題に対し有効でないか検討したい.
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