| 研究課題/領域番号 |
22K03360
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
永井 敦 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (90304039)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 離散ソボレフ不等式 / 離散ラプラシアン / グリーン行列 / 筋交問題 / フラーレン / グリーン関数 / 一般化逆行列 / 筋交い問題 / グラフ理論 / ソボレフ不等式 / 離散 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
離散ソボレフ不等式に関する数理研究および応用研究を行う。
数理研究については、ソボレフ不等式の最良定数を求める一連の手順をグラフ(V,E)上で展開する。Aをグラフに対応する離散ラプラシアンとして、Aの一般化逆行列Gを求める。Gはグリーン関数の離散化と見なせる。行列Gの再生核構造を調べて離散ソボレフ不等式の最良評価を行う。
応用研究については、離散ソボレフ不等式の最良定数はグラフの硬さを表す一つの指標と考えられる。離散ソボレフ不等式は材料力学、建築工学、電気工学の数学的基盤を与えることが期待される。理工学の分野に新しい視点を加え、応用を試みる。
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| 研究実績の概要 |
離散ソボレフ不等式の最良定数とその応用について研究を進めている。特に以下3点を進めた。
(1) 完全グラフ上のl^p離散ソボレフ不等式：昨年度に引き続き、完全グラフ上の離散ラプラシアン行列と対応するグリーン行列から、拡張されたl^p 離散ソボレフ不等式(p>0)を導出しその最良定数と最良ベクトルを求めた。本研究成果は1編の論文として発表し、Hiroshima Mathematical Journal に掲載された。
(2) 離散ソボレフ不等式の筋交問題への応用：各種筋交モデルをグラフとみなしたときに、離散ラプラシアンとグリーン行列を求めて、グリーン行列の再生核としての性質を調べた。さらに再生等式から離散ソボレフ不等式を導出してその最良定数と最良ベクトルを求めた。この研究成果は、どの位置にどの向きで筋交を入れると最良定数が小さくなるのか、言い換えると筋交モデルがたわみにくくなるのかについての数学的基盤を与えるものであり、工学的にも重要な結論だと思われる。本研究成果は8/29-8/31に熱海で第22回計算数学研究会で口頭発表を行い、現在論文を執筆中である。
(3) フラーレン上の離散ソボレフ不等式の最良定数：C60フラーレンの1812個の異性体および頂点数の少ない低次フラーレンを構成し、対応する離散ソボレフ不等式を導出して、その最良定数と最良ベクトルを求めた。本研究成果は9月に大阪大学で、3月に早稲田大学で行われた数学会応用数学分科会において口頭発表を行った。また低次フラーレン上の離散ソボレフ不等式については現在論文を執筆中である。
(4) 2M階常微分作用素のグリーン関数：連続系の微分方程式の境界値問題についても研究を行った。特に(-1)^M(d/dx)^(2M)の両端固定端のグリーン関数の正値性を証明した。本研究成果は9月に大阪大学数学会応用数学分科会において口頭発表を行った。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
3: やや遅れている
理由
前年度から本務校で役職（副学長）を拝命しており、多忙により研究が若干停滞気味であるが、参加できる研究会や学会には可能な限り出席・講演して、上述の研究実績(2)(3)については論文を早い段階で執筆して投稿したい。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)正多面体上の離散l^p型ソボレフ不等式：各種正多面体上のl^p離散ソボレフ不等式に関する研究を行なっている。離散ラプラシアンおよびグリーン行列は計算されており、p=2の場合については論文を発表済であるが、p>0の場合への拡張について、第1に正8面体の場合について計算を進める。
(2) 離散ソボレフ不等式の筋交問題への応用：計算結果を論文としてまとめて投稿するとともに、背景にある数理的考察や定理についても各種離散ラプラシアン行列を丁寧に調べることによって解明することを目指す。
(3) 各種フラーレン上の離散ソボレフ不等式：頂点数が60未満のフラーレン上の離散ソボレフ不等式の最良定数を計算するとともに、頂点数が60を超える高次フラーレンも考察し、その離散ラプラシアンと対応するグリーン行列、さらには離散ソボレフ不等式の最良評価を行う。
(4) 微分方程式の境界値問題のグリーン関数とソボレフ不等式の最良定数：離散系のみならず連続系の問題についても並行して研究を行う。こちらは2021年に拙著「グリーン関数」で本の形でまとめたが高階や多変数（偏微分作用素）についてはグリーン関数を求めてその正値性やソボレフ不等式との関連など詳細に調べたい。
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