| 研究実績の概要 |
本研究計画は，An型ハイゼンベルグ超双極型微分作用素□の解空間（kernel）Sol(□)のK-type構造を明らかにすることを目的としている．昨年度はminimal K-typeの構成を理解するため，(SL(3,R), P_{max}; line bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題およびその解空間Sol(D)のK-type構造の決定問題に着手し，これを解決した．本年度はこの結果を一般化する形で以下の3つの成果を挙げることに成功した．
１：(SL(n,R), P_{1,n-1}; line bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題の解決およびその解空間Sol(D)のK-type構造の決定
２：(SL(3,R), P_{1,2}; vector bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題の解決
３：(SL(n+1,R), P_{1,n}; SL(n,R), P_{1,n}; line bundle)における微分対称性破れ作用素Dの分類構成問題の解決
「1」では，主結果を通して，van Dijk-MolchanovならびにHowe-Leeの結果を絡微分作用素の観点から理解することができた．また主結果の副産物として，対応する一般化Verma加群の可約点の分類および一般化Verma加群間の準同型の「standardness」についての分類も得られた．現在，本研究結果をまとめた論文を投稿中である．また，「3」では，「1」の結果を援用することによって，一般化Verma加群の分規則の観点から微分対称性破れ作用素のfactorial identityを理解することができた．加えて，「1」の結果を通して微分対称性破れ作用素Dの像のK-type構造も決定できたものと考えている．なお，「2」については【今後の研究の推進方策】で触れる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画書執筆時と研究の進み方自体は異なっているものの，絡微分作用素および対称性破れ作用素の理解を深められたこと，そしてK-type構造についても多角的な視点を持つことが出来たことから，概ね順調に進展していると判断した．
【研究実績の概要】では，主な研究業績の一つとして『(SL(n,R), P_{1,n-1}; line bundle)における解空間Sol(D)のK-type構造の決定』を挙げた．この研究を通して，放物型部分群P=LNのLevi部分群Lの不変性および微分作用素の階数がどちらも高い場合は，「解空間におけるPeter-Weyl型定理」からK-type構造を直接計算するのは困難であることが分かった．Peter-Weyl型定理についてはまだまだ分からないことが多い．今回，その理解を深められたことは大きな成果であったと考えている．
また昨年度は，「Smith代数」を通してSol(□)の構造を理解できないかと考えていたが，計算を進めるうちに，全く違うアプローチから計算を進めた方が良いのではないかと考えるようになった．特にH代数ではなく，sl(2)の構造を強く意識した方向から計算を進められないか検討していきたい．
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| 今後の研究の推進方策 |
【研究実績の概要】および【現在までの進捗状況】を踏まえ，今後は以下の2点に重点的に取り組みたいと考えている．
１：『(SL(n,R), P_{1,n-1}; vector bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題』
２：『Sol(□)におけるsl(2)の計算』
「１」については，「n=3」の場合が本年度の主な研究業績として挙げた「2」に相当する．この研究では，特にCartan componentおよびPRV componentのみが絡微分作用素の構成に寄与することが判明した．この現象が「n=一般」の場合にどのように一般化されるのか考えていきたい．
「２」については，【現在までの進捗状況】で述べた通り，H代数の構造ではなく，sl(2)の構造に着目し，計算を行なっていく．
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