| 研究課題/領域番号 |
22K03368
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | お茶の水女子大学 |
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研究代表者 |
竹村 剛一 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (10326069)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | q超幾何関数 / Jackson積分 / ミドルコンボルーション / qホイン方程式 / ホインの微分方程式 / パンルヴェ方程式 / ジャクソン積分 / アクセサリーパラメーター / 変異版q超幾何方程式 / 超幾何関数 / qパンルヴェ方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
重要な特殊関数の一つである超幾何関数は超幾何微分方程式をみたす。超幾何微分方程式はリーマン球面上３点に確定特異点をもつ二階線形常微分方程式の標準形であり、アクセサリーパラメーターをもたない。一方、ホインの微分方程式はリーマン球面上４点に確定特異点をもつ二階線形常微分方程式の標準形であり、一つのアクセサリーパラメーターをもつ。
本研究課題では、これらのq差分版であるq超幾何方程式、qホイン方程式およびこれらの変異版について探求していく。このための一つの道具としてqミドルコンボルーションが挙げられる。また、qパンルヴェ方程式に関係した研究も行う。
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| 研究実績の概要 |
超幾何関数は特殊関数の重要な例であり、数学や物理のさまざまな場面で現れている。超幾何微分方程式は超幾何関数を解とする微分方程式であり、３点に確定特異点をもつということで特徴付けがされている。これを４点確定特異点としたものがホインの微分方程式であり、アクセサリーパラメーターをもつ微分方程式である。また、超幾何微分方程式のq差分化としてq超幾何方程式が古くから知られているが、ホインの微分方程式のq差分化であるqホイン方程式や関連する方程式の研究がすすんできている。
ところで、ミドルコンボルーションのｑ変形としてqミドルコンボルーションが坂井氏・山口氏(2017 IMRN)により導入されており、q変形された積分であるジャクソン積分との関係も調べられていた。
報告者は、qミドルコンボルーションの特殊関数への応用を目指し、お茶の水女子大学の大学院生である新井由美氏と共同研究によりqミドルコンボルーションの収束性および変異版ｑ超幾何方程式について研究成果を得たのだが、今年度はこの成果が学術論文に掲載された。新井氏とは共同研究を継続しており、さらなる成果を目指している。
また、Kernel function identityの話を発展させることでｑホイン方程式やこれの変異版に対してｑ積分変換の手法を開発し、プレプリントを発表した。これは、中央大学大学院博士前期課程を修了した佐々木氏、高木氏との共同研究により得られたqミドルコンボルーションとqパンルヴェ方程式に関係する論文の中でのｑホイン方程式に対するｑ積分変換の結果について、別方向からアプローチしてさらに拡張した形となっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
ｑミドルコンボルーションや変異版ｑ超幾何方程式に関する研究について、論文として出版することができた。
また、qホイン方程式やその変異版に対する研究も推進することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
アクセサリーパラメーターをもつ差分方程式や微分方程式の解について、さらに研究を推し進める。
とくに、ｑミドルコンボルーションと関係するｑ積分変換やｑホイン方程式の周辺について研究を深めていく。
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