研究課題/領域番号 |
22K03368
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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研究機関 | お茶の水女子大学 |
研究代表者 |
竹村 剛一 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (10326069)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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キーワード | q超幾何関数 / ジャクソン積分 / ミドルコンボルーション / アクセサリーパラメーター / ホインの微分方程式 / 変異版q超幾何方程式 / qホイン方程式 / 超幾何関数 / qパンルヴェ方程式 |
研究開始時の研究の概要 |
重要な特殊関数の一つである超幾何関数は超幾何微分方程式をみたす。超幾何微分方程式はリーマン球面上3点に確定特異点をもつ二階線形常微分方程式の標準形であり、アクセサリーパラメーターをもたない。一方、ホインの微分方程式はリーマン球面上4点に確定特異点をもつ二階線形常微分方程式の標準形であり、一つのアクセサリーパラメーターをもつ。 本研究課題では、これらのq差分版であるq超幾何方程式、qホイン方程式およびこれらの変異版について探求していく。このための一つの道具としてqミドルコンボルーションが挙げられる。また、qパンルヴェ方程式に関係した研究も行う。
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研究実績の概要 |
特殊関数の重要な例として超幾何関数を挙げることでき、数学や物理のさまざまな場面で現れている。超幾何微分方程式は超幾何関数を解とする微分方程式であり、3点に確定特異点をもつということで特徴付けがされている。これを4点確定特異点としたものがホインの微分方程式であり、アクセサリーパラメーターをもつ微分方程式である。また、超幾何微分方程式のq差分化としてq超幾何方程式が古くから知られている。ホインの微分方程式のq差分化としてqホイン方程式が知られている。ここ数年でqホイン方程式の研究やq超幾何方程式の変異版の研究がすすんできた。 今年度は、お茶の水女子大学の大学院生である新井由美氏と共同研究を行い、qミドルコンボルーションの収束性および変異版q超幾何方程式について研究成果を得ることができた。qミドルコンボルーションは坂井氏・山口氏(2017 IMRN)により導入されており、q変形された積分であるジャクソン積分との関係も調べられていた。新井氏と報告者により、qミドルコンボルーションに付随するジャクソン積分に対して1パラメーター拡張を行った上で収束性に関する議論も含めて再定式化を行った。そして、この再定式化されたqミドルコンボルーションを用いることで、変異版q超幾何方程式のいくつかの解を導出することができた。 また、中央大学大学院博士前期課程を修了した佐々木氏、高木氏との共同研究により得られたqパンルヴェ方程式の初期値空間とqホイン方程式およびその変異版に関する論文およびqミドルコンボルーションとqパンルヴェ方程式に関係する論文について改訂を経て採択された。他に2本の論文が採択された。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
qホイン方程式やqパンルヴェ方程式に関する研究について、論文として出版することができた。 また、qミドルコンボルーションや変異版q超幾何方程式の研究を推進することができた。
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今後の研究の推進方策 |
アクセサリーパラメーターをもつ差分方程式や微分方程式の解について、さらに研究を推し進める。 とくに、qミドルコンボルーションと関係するq積分変換とその周辺について研究を深めていき、qホイン方程式の解などについて調べていく。
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