| 研究課題/領域番号 |
22K03372
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / Fluid-structure / 外部問題 / 発展作用素 / 漸近挙動 / 正則性 / 安定性 / self-propelled運動 / 時間周期解 / 最適制御 / Navier-Stokes |
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| 研究開始時の研究の概要 |
３次元空間において無限遠まで拡がる非圧縮粘性流体の中を物体が運動している。物体は剛体とし、したがってその運動は並進と回転で記述される。物体と流体、双方の運動の相互作用の問題においては、流体の占める外部領域が運動する物体の補集合としてこれも未知であるから、自由度６の自由境界問題と見られるが、実際に解析するときは運動する物体に固定した座標系によって方程式を書き直す。本研究の核心をなす最も基本的な問題は、その座標系によって定常あるいは時間周期的な運動を主流として、その漸近安定性と擾乱の時間減衰率、および主流じたいの空間無限遠での減衰構造、さらに物体の運動の境界上での最適制御である。
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| 研究実績の概要 |
３次元空間の無限遠までひろがる非圧縮粘性流体の中を運動する剛体の障害物があるとき、その周りでの流れの解析、および流体と剛体双方の運動の相互作用の解析が本研究の主題である。剛体の運動を与えたときの前者の問題に対する知見は相互作用に関する後者の問題に有効に用いられ、これらの研究を同時に進行させているが、本年度の研究成果は以下の通りである。時間に依存した剛体の運動を与えるときは方程式が非自励系となるので、線型化方程式の生成する発展作用素が非線型問題の解析において本質的な役割を果たす。非線型の初期値問題について、Lebesgue空間に値を取る関数として時間変数に関してC^1級の解の存在は、自励系（剛体運動が定常的）な場合であっても先行研究において解明されていなかった。本研究ではこのような結果を目指すべく、発展作用素の荷重評価を援用してその時間変数に関する正則性やヘルダー評価を導出し、さらにDuhamel積分関数の正則性評価を明らかにした。さらに、確立された線型理論を用いて、Navier-Stokes方程式の初期値問題の初期値が劣臨界指数をもつ荷重Lebesgue空間に属し、剛体運動が適当な正則性を有するときに、上記の意味でのC^1解が時間局所的に存在して一意であることを示した。その詳細は2025年２月に国際専門誌J.Math.Fluid Mech.から出版された。また、本年度の別の成果として、Finnのstarting問題の一般化として、初期時刻での定常的な剛体運動から有限時間で別なる定常的な剛体運動へ遷移するとき、その周りでの流れも対応する定常解同士の遷移で記述できる、従って時間無限大で最終的な剛体運動から定まる定常解へ漸近することを証明した。証明は発展作用素の時間減衰評価を用いて行われる。この成果は現時点で査読中であるが、arXiv:2503.00571で公開されている。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
非圧縮粘性流体の中の物体の運動の安定性、流れの空間減衰構造、解の正則性と初期時刻近くでの平滑性評価、時間無限大での定常解あるいは時間周期解への収束率、双方の運動の相互作用等の数学的解明が本研究の目指すところであるが、これまでの研究代表者の研究成果は長時間挙動の解析がやや先行して、正則性の解明が遅れていた。本年度の研究でその解明が進んだことは、今後の研究の展開の基盤になると考えられる。得られた成果は、物体に固定した座標系で見て剛体運動が定常的、従って方程式が自励系で上記の発展作用素が特に半群の場合であっても、新しい知見である。また、線型のレベルでの本年度の到達点は、非自励非同次方程式の解（Duhamel積分関数)のShauder評価の成立も予見させるもので、そのような精密なヘルダー最大正則性を通して、流体と物体の相互作用の問題に対して、先行研究とは異なるアプローチの可能性も開くものである。そのアプローチによって期待される成果は、物体の形状が一般な場合のエネルギー評価とは異なる枠組みでの新しい解の存在定理である。さらに、物体の運動が指定されている場合であっても、例えば時間周期的であるときには、小さい周期解の周りで小さい摂動を与えたときの大域解の存在が知られているが、その大域解の正則性を調べる手がかりも与えている。また、発展作用素の長時間挙動を援用して、剛体運動の遷移から決まる定常解の遷移を正当化できたことも成果であった。これは、従来の研究で明らかにされていた静止状態から定常解への遷移(Finnのstarting問題)の自然な一般化への第一歩である。つぎのステップは、剛体がある時間周期運動から別なる周期運動へ遷移するときに、対応して決まる周期解の遷移の記述である。発展作用素を用いた研究の手法は、主流を定常解から時間周期解に取り替えても有効であると期待され、研究の進展が見込まれる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の展開を、これまで構築してきた線型理論の双璧である発展作用素の正則性および長時間挙動、これら２点との関連で述べよう。まず正則性について、研究代表者の約２５年前の研究は自励系に対する半群の平滑化効果、特にこの問題特有の双曲性をかかえつつも放物性による平滑性を引き出すところからスタートしたが、2014年のHansel-Rhandiによる発展作用素の構成に刺激を受けて、本年度、荷重評価を効果的に活用することで非自励系に対して最良な形で正則性理論を構築できたことは今後の基盤となり、これを非同次方程式に対するShauder評価まで持ち上げることを目指し、理論をさらに完成形へ近づける。非線型問題への応用のレベルでは、剛体運動を指定したときに適当な条件ともとで時間大域解がすでに得られているが（このことは第２の論点である発展作用素の長時間挙動と関わるが）、初期値に荷重を課したときにこの大域解が強解となるかどうかは未解明である。本年度の研究で強解の局所存在定理を得たので、これを手がかりに、各時刻の近傍で強解を再構成し、これを元の大域解と同定できるかどうかを検討する。また、剛体運動も未知である相互作用の問題に対しても、従来のmonolithic approachとは別なる視点での解析手法として、上記の発展作用素の知見を活かしたdecoupling approach での新しい解の存在定理の証明を試みる。次に、発展作用素の長時間挙動の成果を活かした研究の展開であるが、Finnのstarting問題の一般化として、定常解の遷移の記述を最終的な剛体運動から決まる定常解への収束によって正当化したので、時間周期解に対して同様な考察を指向するのは自然である。時間周期解に対するstarting問題の研究で明らかとされているように、時間周期解の空間無限遠での減衰構造の解明が重要な鍵である。
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