| 研究課題/領域番号 |
22K03375
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 奈良女子大学 |
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研究代表者 |
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | Helmholtz分解 / MHD方程式 / 境界値問題 / weak Dirichlet問題 / 修正熱核 / 調和ベクトル場 / Helmholtz-Weyl分解 / 位相的不変量 / Helmholtz-Weyl分解定理 / Navier-Stokes方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，2次元および3次元外部領域上で定義されたr-乗可積分なベクトル場に対するHelmholtz-Weyl分解定理を数学的に妥当な形で与え，更に，この分解定理の流体および電磁気学に現れる境界値問題への適用可能性を探ることを目的とする．このことにより，領域の位相構造が流体現象等に現れる境界値問題の解空間構造に与える影響を捉える統一的解析手法の提示を目指す．
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| 研究実績の概要 |
ベクトル場のHelmholtz分解を導く際，weak Dirichlet問題の一意可解性を示すことが鍵となる．特に，外部領域上で定義された局所p乗可積分な成分をもつベクトル場に対するHelmholtz分解定理においては，基礎とするSobolev型空間の取り方により，その主張および証明法が異なってくることが知られている．このような差異が表れることの本質は，無限遠で0でないある定数に近づくDirichlet調和関数が，基礎とするSobolev型空間の取り方によっては，外部領域上のweak Dirichlet問題の（弱）解から排除されることがある，という事実に起因すると考えられる．令和5年度は，早稲田大学名誉教授の柴田良弘先生に奈良女子大学で集中的なセミナーを行って頂き，この事実が外部領域上の局所p乗可積分ベクトル場に対する（2nd)Helmholtz分解定理の主張及び証明プロセスにどのような影響を与えているのか，について詳細な検討を行った．更に，Sobolev型以外の関数空間におけるHelmholtz分解定理の導出の可能性および磁気流体力学方程式（MHD方程式）に対する自由境界問題への分解定理の応用に関する共同研究を柴田先生等と進めた．
一方，「Div-Curl補題」の外部領域版については実質的な検討を進めることは出来なかった．
また，現在のところ本研究課題との直接の関連はないが，奈良女子大学人間文化総合科学研究科の南香名氏との共同研究において，初期高次モーメントの情報を修正熱核の時間・空間シフトとして適切に取り込むことにより多次元熱方程式の長時間漸近形を与える新たなansatzを提示することが出来たので，日本数学会および研究集会等で発表を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
外部領域上のHelmholtz分解定理の改良の見通し等は立ったが，分解定理のMHD方程式等への応用に関する検討が進んでいない．また，「Div-Curl補題」の外部領域版の考察が進んでいない．
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| 今後の研究の推進方策 |
各成分がBesov空間に属するベクトル場に対する外部領域上のHelmholtz分解定理を示す．得られた分解定理のMHD方程式の自由境界問題等への応用についての検討を進める．「Div-Curl補題」の外部領域版の考察を進める．また，修正熱核の関するansatzの（磁気）流体力学に現れる方程式への適用可能性について，検討を進める．
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