新たな結晶成長モデルの構築と微分方程式論への新展開

• 研究課題/領域番号: 22K03376
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12020:数理解析学関連
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円); 2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: 結晶成長 / Fokker-Planck方程式 / Lojasiewics-Simon勾配不等式 / 差分法 / Fokker-Planck 方程式 / 動的境界条件 / 曲率流方程式

研究開始時の研究の概要

結晶成長の数理モデルの数学解析は, 幾何学的変分問題との関係もあいまって, 様々な研究が進んでおり, 微分方程式の新たな解析手法が構築されてきた. しかし, 結晶粒界上の結晶格子方位のずれによる特異性や, 結晶粒界同士が交差する三重点における相互作用を数理モデルにとりこむこと, そしてそのモデルを数学解析により理解することは進んでいない.
本研究では, 結晶成長モデルの拡張とそのモデルに対する数学解析を通して, 微分方程式の解析手法と結晶成長のメカニズムの理解の深化をはかる. とりわけ, 結晶成長の数理モデリング, そのモデリングによる微分方程式の解析を通じて, 微分方程式論の発展を目指す.

研究実績の概要

昨年度に引き続き，空間不均一な拡散性とエネルギー則をみたす非線形Fokker-Planck系に周期境界条件を課した問題の解の長時間挙動を解析した．拡散の効果をエントロピー消散法に組み込むことにより，ポテンシャルの凸性を仮定しなくても，ポテンシャルの2階導関数が下に有界であれば，空間次元の制約のもと，拡散係数が十分に大きく，モビリティの微分が十分に小さいときに，エネルギー散逸項が指数的オーダーで減衰することを示した．また，多孔質媒質型の退化拡散と空間不均一性を持ち，エネルギー則をみたす非線形Fokker-Planck系の自然境界値問題に対する古典解の長時間挙動を考察した．古典解の存在とポテンシャルの凸性を仮定し，空間次元の制約があれば，拡散係数が十分に大きいときにエネルギー散逸項が指数的オーダーで減衰することを示した．古典解の存在を示すために，解の正値性，ならびに平衡状態が正値となるための十分条件を考察した．
次に，結晶成長の数理モデルにおけるLojasiewicz-Simonの勾配不等式とグラフ解の解析を行った．このために，グラフ解の数値解法を前進差分，後退差分によって導出し，その数値実験および数値解法の安定性について考察した．Lojasiewicz-Simonの勾配不等式によれば，グラフ解は代数的オーダーでエネルギーが収束することがわかるが，この収束の速さが最適かどうかは明らかではない．そこで，数値実験により，エネルギーが時刻無限大でどのようなオーダーで減衰するかを数値的に調べた．そして，その数値計算の安定性について，特に後退差分法による数値解法が無条件安定かどうか，前進差分による数値解法が時空間の比率により安定となるかについて考察した．

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

Fokker-Planck系の長時間挙動の解析においては，ポテンシャルの凸性をはずせたことが大きい．結晶粒界の数理モデルにおいては，ポテンシャルの凸性は仮定できない可能性がある．本研究は，結晶粒界の数理モデルの数学解析に新たな可能性を示すものであると考えている．また，エントロピー消散法において，境界積分はその非線形性の強さもあいまって解析が非常に困難であったが，退化拡散の問題に対する解析手法の知見を応用することで，評価することが可能であることがわかった．
結晶粒界の数理モデルに対するLojasiewicz-Simonの勾配不等式について，数値解析を進めたことにより，勾配不等式の有用性と汎用性についての理解が進んだ．特に，Lojasiewicz-Simonの勾配不等式のグラフ解以外での応用可能性が明らかになった．さらに，変数係数，特に準線形の放物型偏微分方程式の数値解法が持つ問題点を明らかにすることができた．

今後の研究の推進方策

Fokker-Planck系の解析において，自然境界条件でポテンシャルの凸性を仮定せずに長時間挙動を明らかにできるかを検討する．自然境界条件を課したときに，境界積分を評価できる一方で，補間不等式において追加の項が現れることがわかっている．この追加の項が評価できるかどうかを考察する．
Fokker-Planck系の研究は質量保存則の解析と深い関係がある．質量保存則を基礎におく数理モデルとして，走化性の数理モデルの研究が活発に行われている．しかし，走化性のモデルにおいて，エネルギーの散逸性の有用性は明らかとなっている一方，散逸性を基礎におくモデルの構築は研究が進んでいない．そこで，空間不均一性とエネルギー散逸性を基礎におく走化性モデルの導出とその数学解析を進める．
他方で，昨年度に引き続き，絶対温度を加えた結晶成長モデルの構築を進めている．昨年度，絶対温度を加えた結晶成長モデルの構築において，結晶方位差と三重点の相互作用を組み込んだモデルを導くことができた．しかしながらそのモデルの数学解析が非常に困難であることもわかった．そこで，エネルギーをとりかえて，3本の結晶粒界の運動モデルをもとにして，絶対温度を加えたモデルの構築を進めている．特に数理モデルが他のモデルに矛盾しないことを検討しつつ，解の存在などの数学解析を進める．

研究成果

• [国際共同研究] Illinois Institute of Technology/The University of Utah/Columbia University(米国)
• [国際共同研究] 国立清華大学(その他の国・地域：台湾)
• [国際共同研究] 中国科学技術大学(中国)
• [国際共同研究] Illinois Institute of Technology/The University of Utah/Columbia University(米国)
• [国際共同研究] National Tsing Hua University(その他の国・地域：台湾)
• [国際共同研究] UNIST(韓国)
• [雑誌論文] Unified asymptotic analysis and numerical simulations of singularly perturbed linear differential equations under various nonlocal boundary effects (2024)
  • 著者名/発表者名: Chen Xianjin、Lee Chiun-Chang、Mizuno Masashi
  • 雑誌名: Communications in Mathematical Sciences 巻: 22 号: 2 ページ: 394-434
  • DOI: 10.4310/cms.2024.v22.n2.a5
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Local well-posedness of a nonlinear Fokker-Planck model (2023)
  • 著者名/発表者名: Epshteyn Yekaterina、Liu Chang、Liu Chun、Mizuno Masashi
  • 雑誌名: Nonlinearity 巻: 36 号: 3 ページ: 1890-1917
  • DOI: 10.1088/1361-6544/acb7c2
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the uniqueness of linear convection?diffusion equations with integral boundary conditions (2023)
  • 著者名/発表者名: Lee Chiun-Chang、Mizuno Masashi、Moon Sang-Hyuck
  • 雑誌名: Comptes Rendus. Mathematique 巻: 361 号: G1 ページ: 191-206
  • DOI: 10.5802/crmath.396
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] A stochastic model of grain boundary dynamics: A Fokker-Planck perspective (2022)
  • 著者名/発表者名: Epshteyn Yekaterina、Liu Chun、Mizuno Masashi
  • 雑誌名: Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 巻: 32 号: 11 ページ: 2189-2236
  • DOI: 10.1142/s021820252250052x
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Nonlinear inhomogeneous Fokker-Planck models: Energetic-variational structures and long-time behavior (2022)
  • 著者名/発表者名: Epshteyn Yekaterina、Liu Chang、Liu Chun、Mizuno Masashi
  • 雑誌名: Analysis and Applications 巻: 20 号: 06 ページ: 1295-1356
  • DOI: 10.1142/s0219530522400036
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Grain Growth and the Effect of Different Time Scales (2022)
  • 著者名/発表者名: Barmak Katayun、Dunca Anastasia、Epshteyn Yekaterina、Liu Chun、Mizuno Masashi
  • 雑誌名: Association for Women in Mathematics Series 巻: 31 ページ: 33-58
  • DOI: 10.1007/978-3-031-04496-0_2
  • ISBN: 9783031044953, 9783031044960
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] 結晶粒界の数理モデルと時間依存するモビリティを持つ曲線短縮流方程式 (2024)
  • 著者名/発表者名: 水野 将司
  • 学会等名: 深江における非線形偏微分方程式研究集会
  • 招待講演
• [学会発表] 結晶粒界の数理モデルとLojasiewicz-Simon不等式 (2024)
  • 著者名/発表者名: 水野 将司
  • 学会等名: Takamatsu Workshop on Differential Equations and Related Topics
  • 招待講演
• [学会発表] A stochastic model of grain boundary motion (2023)
  • 著者名/発表者名: Masashi Mizuno
  • 学会等名: Mathematical Aspects for Interfaces and Free Boundaries
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] New perspectives on modeling and analysis of grain growth in polycrystals (2023)
  • 著者名/発表者名: Yekaterina Epshteyn, Katayun Barmak, Chun Liu, Masashi Mizuno
  • 学会等名: Minisymposia "Mathematical Aspects of Multiscale Phenomena in Materials and Complex Fluids" on 10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics
  • 国際学会
• [学会発表] Entropy dissipation methods for Nonlinear inhomogeneous Fokker-Planck models (2023)
  • 著者名/発表者名: Masashi Mizuno, Yekaterina Epshteyn, Chun Liu, Chang Liu
  • 学会等名: Minisymposia "Mathematical Aspects of Multiscale Phenomena in Materials and Complex Fluids" on 10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics
  • 国際学会
• [学会発表] The Simon-Lojasiewicz gradient inequality for a PDE related to grain boundary motion (2023)
  • 著者名/発表者名: Masashi Mizuno
  • 学会等名: Multiscale modeling & computation seminar, Illinois Institute of Technology
  • 国際学会
• [学会発表] 結晶成長モデルに対するLojasiewicz-Simon不等式 (2023)
  • 著者名/発表者名: 水野 将司
  • 学会等名: 2023 軽井沢グラフと解析研究集会
• [学会発表] Long-time asymptotic behavior for a non-linear Fokker-Planck model with spatial inhomogeneous free energy (2022)
  • 著者名/発表者名: 水野 将司
  • 学会等名: 京都大学 NLPDE セミナー
• [備考] 日本大学理工学部数学科 水野将司 Webpage
  • URL: http://www.math.cst.nihon-u.ac.jp/~mizuno/
• [学会・シンポジウム開催] Critical Phenomena in Nonlinear Partial Differential Equations, Harmonic Analysis, and Functional Inequalities (2023)