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弾性体に対する障害物問題の解析とその数値解法について

研究課題

研究課題/領域番号 22K03377
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関日本女子大学

研究代表者

愛木 豊彦  日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)

研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
キーワード弾性体 / 非線形偏微分方程式 / 衝突問題 / 障害物問題 / 時間無限大での解の漸近挙動
研究開始時の研究の概要

形状記憶合金でできた針金の輪の一部を熱湯に浸けると,熱湯と空気の温度差により輪が伸縮することで重心のズレが発生し,輪が回転する。この現象において,重心のズレは歪みと応力の関係の温度依存性に起因している。また,滑車の働きはいわゆる障害物問題として表現される。本研究では,歪みと応力の関係に新たな仮定を設けた弾性体に対する運動方程式,障害物問題,その数値解析という三観点から研究を進める。

研究実績の概要

今年度は,弾性体の伸縮運動を記述するモデルの数学的解析と障害物問題の導出に取り組んだ。本研究の数理モデルでは,弾性体の運動を2次元平面上の閉曲線の時間変化として捉えている。従来,このような細長い物質の運動は定義域と値域をともに3次元領域や1次元区間とする未知関数を求める微分方程式モデルとして表され,そのモデルについて考察されてきた。定義域と値域を1次元区間とした場合は物質の曲がりが表現できず,3次元領域とした場合は方程式が複雑になるため見通しが持ちにくいと予想し,本研究では定義域を1次元区間,値域を2次元平面とするモデルについて考察してきた。このモデルの特徴は応力を表す関数に特異点の存在を仮定していることである。
これまで,本研究の題材の具体例を輪ゴムとしていたが,昨年度までの研究成果から輪ゴムのような柔らかい弾性体ではなく,定常状態が円になるようなより硬い針金のような弾性体の方がふさわしいことが分かってきた。一方,円だけでなく二重円も定常解であることが分かると同時に定常解の一意性は依然として未解決である。
今年度はエネルギーの減衰を記述する粘性項を加えたbeam方程式の解が,粘性項の係数をゼロに近づけたとき,粘性項なしの方程式の解に収束することを示すことができた。同時に,粘性項がない方程式の解の存在も証明した。解の一意性はこれまでの研究成果を適用することで容易に示すことができた。
また,今年度は弾性体の障害物問題にも取り組んだ。ここでは研究の第一段階として,1次元物体の硬い床との衝突を定義域と値域をともに1次元とする未知関数によって表現した。従来,床との衝突をSignorini条件によって表現してきたが,本研究で考察してきた特異点をもつ応力関数によって記述している。このモデルに対する数値計算から,解の挙動が衝突運動と近いことから,このモデルは妥当であると判断した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究の課題は,1.「弾性体に対する障害物問題の解析」,2.「その数値解法」の2つである。これらに対する進捗状況を述べる。
1.「弾性体に対する障害物問題の解析」について 弾性体に対する障害物問題の解析の礎となるbeam方程式の解析に取り組んだ。ここでは,先に述べた粘性項の係数を零に近づけたときの解の挙動の詳細を示す。まず,一様評価が容易に得られる弱解について考察した結果は共同研究者が論文として発表した。そこでは,粘性項なしの方程式の弱解の存在も示されている。次に,強解について粘性項に依存しない評価を得ることができた。この評価では,弱解への一様評価とGagliardo-Nirenbergの不等式を活用している。また,極めて単純な場合ではあるが,弾性体に対する障害物問題に相当する数理モデルを提案することができた。
2.「弾性体に対する障害物問題の数値解法」について 上述した弾性体の衝突問題を記述する数理モデルを導出すると同時に,このモデルに関する数値解を得ることができた。分点数が少ないためか,数値計算も安定していた。一方,値域を2次元平面とするモデルに対するこれまでの数値計算では,本来周期性を示すべき解が短時間で周期的でなくなるという課題が生じている。現時点まで,この課題を解決する明確な手がかりが得られていないため,今年度の数値計算結果との比較が必要だと考えている。
これらをまとめると,数値計算の新手法に関する手がかりは得られていないが,弾性体に対する障害物問題を,特異点をもつ応力関数を伴う数理モデルによって記述できたため,本研究の進捗状況はおおむね順調であると判断した。

今後の研究の推進方策

上述の2つの課題「弾性体に対する障害物問題の解析」「弾性体に対する障害物問題の数値解法」に対する今後の研究の推進方策を述べる。
1.「弾性体に対する障害物問題の解析」について これまで応力関数を具体的な有理関数として与え,解の存在と一意性を示してきたが,それらの結果では先行研究R. W. Ogden(1972), J. C. Simo, C. Miehe(1992), G. A. Holzapfel(2000)で示された応力関数を扱えない。そこで,本研究の最終年度である2024年はこれまでの研究を総括する意味でも先行研究の結果を含むような一般的な枠組みで解の存在と一意性を示す。
次に,1次元において直線状の棒を垂直に硬い面に落としたときの鉛直方向の運動について考察する。これは偏微分方程式で記述される最も簡単な障害物問題である。既にこの障害物問題に相当する数理モデルを導出し,さらに質点の跳ね返り現象と同様の動きを示す数値解も得られている。そこで,この方程式に対する解の存在や一意性について検討する。これまで本研究で扱った境界条件は全て線形であったが,障害物問題では特異点をもつ応力関数を採用しているため,境界条件は非線形となる。弾性体の方程式で非線形境界条件を扱う研究は少ないので,その手法を開発していく必要がある。
この方程式をある程度解析した後,輪状の弾性体曲線を硬い平面に落下させたときの跳ね返りを考える。ここでは,未知関数の定義域は1次元区間,値域は2次元平面である。跳ね返りによって各点に非一様な力がかかるため解析に困難が予想されるが,これまでの研究成果をもとに解決していく。
2.「弾性体に対する障害物問題の数値解法」について 2024年は本研究の最終年度であるため,解決の可能性が高い上記1に集中して取り組む。その後,時間的余裕があればこの課題について考察する。

報告書

(2件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 研究成果

    (23件)

すべて 2024 2023 2022

すべて 雑誌論文 (5件) (うち国際共著 2件、 査読あり 5件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (18件) (うち国際学会 4件、 招待講演 5件)

  • [雑誌論文] Large time behavior of solutions for a PDE model for compressible elastic curve2023

    • 著者名/発表者名
      Kosugi Chiharu, Aiki Toyohiko
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems - S

      巻: 16 号: 12 ページ: 3733-3745

    • DOI

      10.3934/dcdss.2023161

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A class of initial-boundary value problems governed by pseudo-parabolic weighted total variation flows2023

    • 著者名/発表者名
      Toyohiko Aiki, Daiki Mizuno, Ken Shirakawa
    • 雑誌名

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      巻: 32 ページ: 311-341

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A free boundary problem describing migration into rubbers -Quest for the large time behavior2022

    • 著者名/発表者名
      Aiki Toyohiko、Kumazaki Kota、Muntean Adrian
    • 雑誌名

      ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik

      巻: - 号: 7

    • DOI

      10.1002/zamm.202100134

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Age-dependent model for population dynamics of polyps, one life stage of jellyfish2022

    • 著者名/発表者名
      Toyohiko Aiki, Miyu Hotta
    • 雑誌名

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      巻: 31 ページ: 473-480

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Local existence of a solution to a free boundary problem describing migration into rubber with a breaking effect2022

    • 著者名/発表者名
      Kumazaki Kota、Aiki Toyohiko、Muntean Adrian
    • 雑誌名

      Networks and Heterogeneous Media

      巻: 18 号: 1 ページ: 80-108

    • DOI

      10.3934/nhm.2023004

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] 水分移動モデルに対する有限体積法を用いた数値解の収束2024

    • 著者名/発表者名
      森村晃子, 愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 放物型方程式の連立系に対する自由境界問題の可解性について2024

    • 著者名/発表者名
      垣内花, 愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 圧縮性弾性体の伸縮運動を表す初期値境界値問題のエネルギー保存系に対する強解の存在について2024

    • 著者名/発表者名
      小杉千春, 愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Numerical Results on Some Mathematical Models for Elastic Materials on the Plane2023

    • 著者名/発表者名
      Toyohiko Aiki
    • 学会等名
      13th AIMS international Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 弾性衝突を記述する偏微分方程式モデルについて2023

    • 著者名/発表者名
      愛木豊彦
    • 学会等名
      研究集会「第8回非線形数理科学」
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 弾性体を平面上の曲線と捉えた数理モデルの可解性と妥当性について2023

    • 著者名/発表者名
      愛木豊彦
    • 学会等名
      東京理科大学創域理工学研究科談話会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Partial differential equations for moisture transport in porous materials2023

    • 著者名/発表者名
      Akiko Morimura, Toyohio Aiki
    • 学会等名
      10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Solvability of a dynamical model for the elastic curves2023

    • 著者名/発表者名
      Chiharu Kosugi, Toyohio Aiki
    • 学会等名
      10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 非単調な境界条件を伴う非線形放物型方程式に対する弱解について2023

    • 著者名/発表者名
      森村晃子, 愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] New Mathematical Model for Elastic Collision2023

    • 著者名/発表者名
      Chiharu Kosugi, Toyohio Aiki
    • 学会等名
      International Conference on ”Nonlinear Phenomena in Biology, Ecology, Physics and Mechanics”
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 焼成過程を記述する自由境界問題の可解性について2023

    • 著者名/発表者名
      垣内花, 愛木豊彦
    • 学会等名
      第49回発展方程式研究会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 圧縮性弾性体の伸縮運動を表現するエネルギー保存系に対する初期値境界値 問題の強解の存在2023

    • 著者名/発表者名
      小杉千春, 愛木豊彦
    • 学会等名
      第49回発展方程式研究会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 多孔質媒体の水分輸送モデルに対する数値解の収束2023

    • 著者名/発表者名
      森村晃子, 愛木豊彦
    • 学会等名
      第49回発展方程式研究会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 多孔質媒体における水分移動モデルの解の存在と一意性について2023

    • 著者名/発表者名
      森村晃子,愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 圧縮性弾性体の伸縮運動を表す初期値境界値問題の強解に対するω極限集合 について2023

    • 著者名/発表者名
      小杉千春,愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 圧縮性弾性体の伸縮運動を表す初期値境界値問題の時間無限大における解の挙動について2022

    • 著者名/発表者名
      小杉千春,愛木豊彦
    • 学会等名
      日本数学会・実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 1 次元領域における多孔質媒体中の水分移動モデルの解の存在と一意性につ いて2022

    • 著者名/発表者名
      森村晃子,愛木豊彦
    • 学会等名
      第48 回発展方程式研究会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 圧縮性弾性体の伸縮運動を表現する初期値境界値問題の解に対するω極限集合について2022

    • 著者名/発表者名
      小杉千春,愛木豊彦
    • 学会等名
      第48 回発展方程式研究会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書

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公開日: 2022-04-19   更新日: 2024-12-25  

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