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平均場ゲーム・結晶成長・異常拡散に現れる偏微分方程式の漸近解析

研究課題

研究課題/領域番号 22K03382
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関東京大学

研究代表者

三竹 大寿  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90631979)

研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
キーワードハミルトン・ヤコビ方程式 / カプトー型時間分数冪偏微分方程式 / 非局所界面運動 / 凸型保存性 / 固定端界面運動 / ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 / 外力付グラフ型平均曲率流方程式 / カプトー型時間分数冪拡散方程式 / Hamilton-Jacobi方程式 / 非局所偏微分方程式 / 平均場ゲーム / 生成伝播型微分方程式
研究開始時の研究の概要

制御問題,力学系,界面運動,平均場ゲームに現れる,Hamilton-Jacobi方程式,平均曲率流方程式,Fokker-Planck方程式,分数冪時間微分を持つ方程式といった非線形性や特異性の強い偏微分方程式に対して長時間挙動,均質化問題といった漸近解析や,解の正則性に関する評価を行う.また,非局所界面運動を動機として,その等高面方程式の解の幾何的な性質について解析する.

研究実績の概要

令和5年度は,(テーマ1) 時間分数べきハミルトン・ヤコビ方程式の均質化理論,(テーマ2)非局所界面運動の凸型保存性,(テーマ3)固定された箇所をもつ界面運動に対する等高面法について,幾つかの結果を得ることができた.テーマ1では,時間微分としてカプトー型時間分数冪微分を考えたハミルトン・ヤコビ方程式に対して,均質化問題について考察した.十分小さいパラメータに対して周期的に振動する係数を持つような同方程式に対して,その解が収束することと,収束率に関する結果を得た.この時間分数冪方程式は,例えば土壌中の汚染物質の拡散など,不均質な媒体での拡散現象を記述する方程式として理論と応用の双方から注目を集めている.テーマ2では外力付曲率流で,特に外力が界面に囲まれる面積に依存するといった,非局所界面運動を動機に,対応する等高面方程式を含む完全非線形偏微分方程式の解の凸型保存性について証明することに成功した.テーマ3では,動く曲面の一部が固定されている運動を考え,固定されていない部分は平均曲率流に従って動くという問題について考察した.幾何的には大変自然な問題ではあるが,古典解の枠組みを超えた弱解を等高面法で構成することは難しかった.既存の研究では偏微分方程式のDirichlet問題として構成したが,これは初期界面と固定端が一つの強凸型領域に含まれている場合のみ扱うことができた.さらにこの方法では,先天的にはこの界面は強凸型領域に依存しうるが,この点は当初の問題からすると不自然である.この研究では同問題を障害問題として捉えて,既存の結果との同値性を得ることができた.さらに,系として強凸型領域の非依存性も分かった.以上の結果を研究論文としてまとめ,テーマ1,2については査読付国際雑誌に受理され,テーマ3については投稿中である.また,これらの結果を幾つかの国際研究会で発表した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

時間分数べきハミルトン・ヤコビ方程式の均質化問題の解の収束性と収束率について期待されていた結果を得ることができた.非局所界面運動の凸型保存性についても概ね期待されていた結果を得ることができた.固定端界面運動については初め考えていた以上に難点が現れたが,妥当な帰結を定めてまとめることができた.以上の進捗状況をおおむね順調に進んでいると判断した.

今後の研究の推進方策

令和6年度は,令和5年度に研究途中である,スパイラルを記述する方程式の漸近速度に関する研究や,燃焼モデルに現れるG方程式の分岐現象について研究を進展させることを目標とする.研究打ち合わせを目的とした海外出張や海外研究者の招聘,国際研究集会の開催などを計画して研究を推進,活発化していきたい.

報告書

(2件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 研究成果

    (20件)

すべて 2024 2023 2022 その他

すべて 国際共同研究 (4件) 雑誌論文 (6件) (うち国際共著 2件、 査読あり 6件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (9件) (うち国際学会 7件、 招待講演 9件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] ウィスコンシン大学マディソン校(米国)

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [国際共同研究] 浙江科学技術大学(中国)

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [国際共同研究] ウィスコンシン大学マディソン校(米国)

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [国際共同研究] キング・アブドゥラー科学技術大学(サウジアラビア)

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [雑誌論文] On the rate of convergence in homogenization of time-fractional Hamilton-Jacobi equations2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake, S. Sato,
    • 雑誌名

      NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.

      巻: 30 号: 5 ページ: 30-68

    • DOI

      10.1007/s00030-023-00880-w

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On weak solutions to first-order discount mean field games2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake, K. Terai
    • 雑誌名

      Minimax Theory and its Applications

      巻: 8

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Quasiconvexity preserving property for fully nonlinear nonlocal parabolic equations2022

    • 著者名/発表者名
      Takashi Kagaya, Qing Liu, Hiroyoshi Mitake
    • 雑誌名

      Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA

      巻: 30 号: 1 ページ: 1-28

    • DOI

      10.1007/s00030-022-00818-8

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the equivalence of viscosity solutions and distributional solutions for the time-fractional diffusion equation2022

    • 著者名/発表者名
      Giga Yoshikazu、Mitake Hiroyoshi、Sato Shoichi
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 316 ページ: 364-386

    • DOI

      10.1016/j.jde.2022.01.057

    • NAID

      120007145351

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] The large time profile for Hamilton-Jacobi-Bellman equations2022

    • 著者名/発表者名
      D. A. Gomes, H. Mitake, H. V. Tran
    • 雑誌名

      Math. Ann.

      巻: 384 号: 3-4 ページ: 1409-1459

    • DOI

      10.1007/s00208-021-02320-5

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Level-set forced mean curvature flow with the Neumann boundary condition2022

    • 著者名/発表者名
      J. Jang, D. Kwon, H. Mitake, H. V. Tran
    • 雑誌名

      J. Math. Pures Appl.

      巻: 168 ページ: 143-167

    • DOI

      10.1016/j.matpur.2022.11.002

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] ハミルトン・ヤコビ方程式の定量的均質化理論2024

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      東京工業大学談話会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] On asymptotic growth rate of solutions to level-set forced mean curvature flows with evolving spirals2024

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      East Asia Workshop on Nonlinear Evolution Equations
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the study of Hamilton-Jacobi equations from view point of the PDE theory2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      Frontiers in Hamilton-Jacobi equation and its applications, Q-BIO workshop
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] On the rate of convergence in homogenization of time fractional Hamilton-Jacobi equations2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      RIMS合宿型セミナー「Homogenization and/or non-local operators」
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the rate of convergence in homogenization of time fractional Hamilton-Jacobi equations2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      ICIAM 2023
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On a level-set method for a mean curvature flow with a prescribed boundary2023

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      Probabilistic and game theoretical interpretation of PDEs
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the equivalence of viscosity solutions and distributional solutions for the time-fractional diffusion equation2022

    • 著者名/発表者名
      ?サソH. Mitake
    • 学会等名
      Inverse Problems and Control for PDEs and the Hamilton-Jacobi Equation
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On Lipschitz regularity for level-set forced mean curvature flow under the Neumann boundary condition2022

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      RIMS共同研究(公開型)「発展方程式論の革新:異分野との融合がもたらす理論の深化」
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On Lipschitz regularity for level-set forced mean curvature flow under the Neumann boundary condition2022

    • 著者名/発表者名
      H. Mitake
    • 学会等名
      NTU-Tokyo joint conference
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] 国際研究集会「Geometric Aspects of Partial Differential Equations」2023

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書

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公開日: 2022-04-19   更新日: 2024-12-25  

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