研究課題/領域番号 |
22K03386
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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研究機関 | 広島大学 |
研究代表者 |
滝本 和広 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00363044)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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キーワード | k-Hessian方程式 / k-曲率方程式 / 完全非線形偏微分方程式 / 境界値問題 |
研究開始時の研究の概要 |
k-Hessian方程式およびk-曲率方程式に対して,解の定量的な性質や特異性について深く探究する。特に,次の内容について研究を行う。 ●k-Hessian方程式に対するBernstein型定理 ●k-Hessian方程式に対する外部Dirichlet問題の可解性 ●k-Hessian方程式やk-曲率方程式に対する境界爆発問題(特に一意性),および境界爆発解の境界付近における漸近挙動 ●k-Hessian方程式やk-曲率方程式に対する解の特異集合の除去可能性定理,および一般の完全非線形方程式への拡張
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研究実績の概要 |
本年度は次の研究を行った。 (1) k-曲率方程式 H_k[u]=f(u)g(|Du|) の境界爆発問題の解の境界付近における漸近挙動に関する研究を行った。これについては研究代表者による既存の結果があるが,f(u) が u→∞で u^p のオーダーで増大し,g(t) が t→∞で t^{-q} のオーダーで減衰する場合については,p と q から定める定数γを用いて,u(x) が x から境界までの距離 d(x)のγ乗の定数倍で上から評価でき,さらに d(x) のγ乗の(別の)定数倍で下からも評価できることが示されたに過ぎなかった。本研究では,比較する優解・劣解をより精密に構成することにより,境界爆発問題の解 u(x) の境界付近における漸近挙動の主要項における d(x) のγ乗の係数を正確に決定することに成功した。この研究をまとめた論文は Manuscripta Mathematica 誌に掲載された。 (2) 半線形 Poisson 方程式 Δu=f(u)(これは k-Hessian 方程式において k=1 という特別な場合に対応する)の境界爆発問題において,f(u)=u^p+αu^q のときの解 u(x) の境界付近における漸近挙動については,これまでの研究により第 2 項まで求められていた。研究代表者は,Yuxiao Zhang 氏(広島大学)との共同研究により,漸近挙動の第 3 項を求めることに成功した。漸近挙動の第 2 項は第 1 項の距離関数 d(x) 倍のオーダーであるのだが,ある状況においては第 3 項は第 2 項の d(x) の分数べき倍のオーダーとなることが興味深い点である。この研究をまとめた論文を執筆し,学術雑誌に投稿中である。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は主に k-Hessian 方程式,k-曲率方程式の境界爆発問題の解の境界付近における漸近挙動について研究を行ったが,新たに興味深い事実を得ることができた。また,k-Hessian 方程式に対する外部 Dirichlet 問題,および Yuxiao Zhang 氏(広島大学)との共同研究による半線形 Poisson 方程式の境界爆発問題の解の高次漸近展開(いずれも次年度に継続)についても研究が進展しており,本年度はおおむね順調に進展している。
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今後の研究の推進方策 |
次年度は,本年度に引き続き,k-Hessian 方程式に対する外部 Dirichlet 問題の研究,および半線形 Poisson 方程式の境界爆発問題の解の高次漸近展開の研究を行う。その後は k-Hessian 方程式に対する Bernstein 型定理に関する予想の解決に向けて努力する。
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