| 研究課題/領域番号 |
22K03386
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
滝本 和広 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00363044)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | k-Hessian方程式 / k-曲率方程式 / 完全非線形偏微分方程式 / 境界値問題 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
k-Hessian方程式およびk-曲率方程式に対して，解の定量的な性質や特異性について深く探究する。特に，次の内容について研究を行う。
●k-Hessian方程式に対するBernstein型定理
●k-Hessian方程式に対する外部Dirichlet問題の可解性
●k-Hessian方程式やk-曲率方程式に対する境界爆発問題（特に一意性），および境界爆発解の境界付近における漸近挙動
●k-Hessian方程式やk-曲率方程式に対する解の特異集合の除去可能性定理，および一般の完全非線形方程式への拡張
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| 研究実績の概要 |
本年度は次の研究を行った。
(1) 放物型 k-Hessian方程式 u_t = μ(F_k(D^2 u))^{1/k} の外部 Dirichlet 問題の可解性に関する研究を行った。領域や関数μおよび境界値に関する適切な条件（これは簡潔に記述される比較的緩い条件である）の下での粘性解の存在と一意性に関する結果を得た。この研究に関する簡単な報告を数理解析研究所講究録に掲載したが，今後研究結果をまとめて論文を執筆し学術誌に投稿する予定である。
(2) 前年度に行った，半線形 Poisson 方程式 Δu=f(u)（これは k-Hessian 方程式において k=1 という特別な場合に対応する）の境界爆発問題において，f(u)=u^p+αu^q のときの解 u(x) の境界付近における漸近挙動の第 3 項に関する研究結果をまとめた論文は，Journal of Mathematical Analysis and Applications 誌に掲載された（Yuxiao Zhang 氏（広島大学）との共同研究）。
(3) (2) の問題において，ある条件下において境界爆発解 u(x) の境界付近におけるさらに高次の漸近挙動を得ることに成功した。漸近挙動には距離関数 d(x) の整数べきだけでなく分数べきが現れうることが興味深い点である。研究結果をまとめた論文を執筆し，学術雑誌に投稿中である（Yuxiao Zhang 氏（広島大学）との共同研究）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は主に k-Hessian 方程式に対する外部 Dirichlet 問題を扱い，まとまった結果を得ることができた。また，Yuxiao Zhang 氏（広島大学）との共同研究による半線形 Poisson 方程式の境界爆発問題の解の高次漸近展開についても新たな進展があり，さらに次年度以降も継続して研究を行う。本年度はおおむね順調に研究が進展したと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は，本年度に引き続き，k-Hessian 方程式に対する外部 Dirichlet 問題の研究，および半線形 Poisson 方程式の境界爆発問題の解の高次漸近展開の研究を行う。その後は k-Hessian 方程式に対する Bernstein 型定理に関する予想の解決に向けて努力する。
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