| 研究課題/領域番号 |
22K03388
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高田 了 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50713236)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | Boussinesq 方程式 / 回転成層流体 / 半線形熱方程式 / 時間減衰評価 / Navier-Stokes方程式 / Boussinesq方程式 / 回転流体 / MHD方程式 / 特異極限問題 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は，地球流体および磁気流体において，回転成層流および定常磁場が流れの様相に及ぼす影響やその仕組みを，非線形偏微分方程式論の観点から数学的に解明することである．この問題は，Coriolis 力および Boussinesq 近似を取り入れた Navier-Stokes 方程式，または MHD 方程式の初期値境界値問題や定常問題として数学的に定式化される．回転，成層および定常磁場が流れの安定性や長時間挙動に及ぼす分散性と異方性のメカニズム，またその相違に関する数学解析を行い，地球流体力学に対する数学的理論の構築を研究目標とする．
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| 研究実績の概要 |
本研究では，地球流体力学および磁気流体力学に現れる非線形偏微分方程式系の数学解析を行う．本年度は，回転と安定成層の影響を考慮した非粘性 Boussinesq 方程式の可解性，および関連する研究として非斉次項付き半線形分数冪熱方程式の可解性について考察した．
（1）3次元層状領域における非粘性 Boussinesq 方程式の可解性：水平方向は全平面かつ鉛直方向に周期性を課した3次元層状領域において，回転と安定成層の影響を考慮した非圧縮非粘性 Boussinesq 方程式の初期値問題に関して研究を行った．本年度は，回転と安定成層に対応するパラメータを無限大とした際に現れる極限方程式を導出し，その時間局所解に対する先験的評価を確立することで，大きな初期値に対する同方程式の時間大域的一意可解性を証明した．
（2）非斉次項付き半線形分数冪熱方程式の可解性：全空間において，冪乗型非線形項をもつ非斉次半線形分数冪熱方程式の可解性について研究を行った．非線形冪が臨界の場合に，可解性に関して最適な特異性を許容する弱 Zygmund 型空間に属する非斉次項に対して，同方程式の時間局所的可解性を証明した．また，非線形冪が超臨界の場合においては，可解性に関して最適な特異性を許容する弱 Lebesgue 空間に属する非斉次項に対して，同方程式の時間大域的可解性を証明した．証明では，弱 Zygmund 型空間における分数冪熱半群の時間減衰評価，および実補間空間論を用いた非斉次線形評価と非斉次非線形評価の確立が鍵となる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
非斉次半線形分数冪熱方程式の可解性に関しては一定の研究成果を挙げることができた．一方，非粘性 Boussinesq 方程式の研究に関しては進展はあったものの，予定していた研究目標は達成できていない．
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元層状領域における非粘性回転成層 Boussinesq 方程式の解の漸近挙動に関して研究を継続する．また，分散性を有する非粘性流体方程式の解の最大存在時刻に関する研究を進める．
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