| 研究課題/領域番号 |
22K03392
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
竹内 慎吾 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (00333021)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | ｐラプラシアン / 一般化三角関数 / 一般化ヤコビ楕円関数 / ウォリス型積分公式 / ルジャンドル関係式 / 倍角公式 / 一般化双曲線関数 / 加法公式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は，代表的な非線形2階微分作用素であるpラプラシアンについて，固有値問題とそれに関連する楕円積分の研究を行う．pラプラシアンの固有値と固有関数を利用した古典的な諸概念の「現代化」を通して，非線形微分方程式の従来の研究手法では得られない知見を獲得することを目的とする．従来の非線形微分方程式の研究では，一般には古典解析的な側面を探ることはほとんどなされておらず，これまでにない特徴ある研究成果が得られる．
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| 研究実績の概要 |
2023年度の本研究課題の研究成果は以下の通りである：①一般化されたJacobi楕円関数のWallis積分公式の構築、②3パラメータの一般化完全楕円積分に関するLegendre関係式の導出、③一般化三角関数に関するEdmunds-Langによる不等式の拡張、④Kirchhoff型方程式のT.Shibataによる結果の一般化。
以下、それぞれについて詳細を述べる。
①古典的なJacobi楕円関数に関するWallis積分公式は、漸化式で与えられたものが知られている（例えば竹内端三の『楕円関数論』p.86）。これを一般化三角関数の積分公式（Kobayashi-Takeuchi(2019)）も含む形で一般化されたJacobi楕円関数にまで、漸化式だけでなく一般項による表示にまで拡張した。また、Appellの超幾何級数を用いると、一般化ヤコビ楕円関数の原始関数も表現できることが示された。②3パラメータの一般化完全楕円積分に関するLegendre関係式はTakeuchi(2016)によって得られているが、これが一般化完全楕円積分に関係するある種の二つの関数のロンスキアンが定数であることとして特徴づけられた。③Edmunds-Lang(2023)は、Lieb等(2021)によって得られたある種の不等式に着目し、1パラメータの一般化三角関数が満たす非自明な不等式を導いた。この不等式を3パラメータの一般化Jacobi楕円関数まで拡張し、さらに等号が成り立つ場合を精密に調べた。④T.Shibata(2023)によるKirchhoff型方程式に関する分岐問題をpラプラシアンに対して拡張し、同時に結果を一般化三角関数や一般化円周率を用いることで見通しよく表現した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
成果はあるが、本の執筆に時間を取られ論文にまとめる時間が十分とれなかったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
2023年度の本研究課題の研究成果である、①一般化されたJacobi楕円関数のWallis積分公式の構築、②3パラメータの一般化完全楕円積分に関するLegendre関係式の導出、③一般化三角関数に関するEdmunds-Langによる不等式の拡張、はすべて3パラメータの一般化ヤコビ楕円関数（とその周期である完全楕円積分）に関する成果である。これをまとめた論文を執筆中である。また、一般化三角関数や一般化Jacobi楕円関数の微分方程式に対する応用に力を注いでいきたい。
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