| 研究課題/領域番号 |
22K03400
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 東邦大学 (2023)
北陸先端科学技術大学院大学 (2022) |
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研究代表者 |
石原 哉 東邦大学, 理学部, 訪問教授 (10211046)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 構成的数学 / 一様空間 / 完備化 / 構成的集合論 / 積分論 / バナッハ空間論 / バナッハ空間 / Banach空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
作図問題は、限られた道具や資源を用いて何がどこまでできるかを問う。本研究の核心は、数学理論により堅固な基礎を与える構成性と可述性に注目し、作図問題と同様に「構成性・可述性を保証するように論理・集合論を制限した場合、どのような数学理論がどこまで展開できるか」という独自の問いに迫ることである。
そのためのケーススタディとして、Banach空間における双対性と一様空間に焦点を当てる。Banach空間の双対空間の強位相は構成的に距離付け不可能であり、双対性を構成的・可述的に論じる際の大きな障壁になっている。強位相を一様位相として捉え、Banach空間における双対性理論の構成的・可述的展開を試みる。
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| 研究実績の概要 |
古典的数学では同値になる一様空間の擬距離による定義と近域による定義を構成的数学の視点から吟味した。擬距離によって定義できない構成的一様空間が存在することが明らかになり、近域に基づいた定義を採用する必要があることが判明した。また、一様空間のフィルターによる完備化と有向点列を用いた完備化を構成的集合論の視点から吟味した。有向点列を用いた完備化は直観的にわかりやすく自然であるが、選択公理を用いることのできない構成的集合論では一様空間を集合として定義することはできず、セトイド（集合とその上の同値関係の対）として定義しなければならないことが明らかになった。すべての集合をセトイドで置き換えると理論構成が複雑で煩雑になるため、サンビン（Sambin）が構成的位相空間論の基礎として導入した基本対の概念を参考に、空間はセトイドとしてその上の一様構造は集合として定義した。そのうえで、一様空間の間の一様連続写像および一様空間の完備化を定義し、完備化が持つべき普遍性が成り立つことを示した。また、完備一様空間および一様空間の積を定義し、完備一様空間の積が完備であること、２つの一様空間の積の完備化とそれぞれの完備化の積が一様同相であることを示した。
さらに、このように構築した構成的一様空間論を用いた積分論の展開およびバナッハ空間の双対空間の解析に関する調査を行った。可積分関数のノルム収束は距離位相および可測関数の測度収束は一様位相で与えられること、バナッハ空間の双対空間の強位相は双対空間の吸収的絶対凸集合を用いた一様構造で定義できる可能性があることがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
サンビンの基本対の概念を参考に集合による一様構造をもつセトイドとして一様空間を定義したことが大きな進展である。完備化や積およびそれらの性質を自然に定義し示すことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
構築した構成的一様空間論を用いた積分論の展開とバナッハ空間の双対空間の解析を行う。可積分関数のノルム収束は距離位相を用いて、可測関数の測度収束は一様位相を用いて捉えることができる。ベクトル束（セトイド）に２つの一様構造を与え、それぞれの一様空間の完備化により可積分関数の空間および可測関数の空間を定義する。それらの間の関係（埋め込み）を調べ、ファトゥーの補題やルベーグの収束定理の証明を試みる。
線形空間（セトイド）の吸収的絶対凸集合により一様構造を定義すること、およびそれを用いてバナッハ空間の双対空間の強位相を構成的に与えることを試みる。
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