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点配置の距離構造に着目した極値組合せ論の研究

研究課題

研究課題/領域番号 22K03402
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12030:数学基礎関連
研究機関滋賀大学

研究代表者

篠原 雅史  滋賀大学, 教育学系, 教授 (70432903)

研究分担者 須田 庄  防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30710206)
野崎 寛  愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2026-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
キーワード距離集合 / 格子 / 平面上の点配置 / Erdos distances problem / 極値組合せ論 / 代数的組合せ論 / 点の配置問題 / 擬ユークリッド空間 / 極値組み合わせ論 / 距離構造
研究開始時の研究の概要

よい点配置において,正八面体や立方体のように,現れる距離の自乗比が簡単な整数の比(1:2 や 1:2:3)で表されたり,正五角形や正十二面体のように,二次体の元として表されたりすることがある.よい点配置に現れる距離の値の代数的性質を用いてよい配置を特徴付けることが本研究の特色である.
エルデシュは平面上の n 点の点配置に現れる距離の個数は cn/sqrt(log n) より大きくなると予想した.先に述べた手法を用いて,この問題へアプローチすることが本研究の最大の目標である.

研究実績の概要

2023年度の主な研究実績は次の2つである.
(1)d次元ユークリッド空間における k-距離集合の頂点数は \binom{d+k}{k} 以下であることが知られている.この上界の等号を満たす例のうち非自明なものは,(d,k)=(8,2) のときに Lisonek(1997) が構成した例しか知られておらず,他にこのような例があるかは未解決問題である.k=2 のときは,2-距離集合を自然に単純グラフに対応させて考えることができる.Lisonek の例は,ジョンソングラフのあるスイッチングにより得られたグラフから構成される.我々は空間を擬ユークリッド空間 R^{p,q} に拡張し、ジョンソングラフのスイッチングにより得られる 2-距離集合のうち最大の頂点数をもつものを決定した.また,同様の考察をハミンググラフに対しても行った.これら結果は,Minimal representations of graphs from the Seidel switching of the Johnson or Hamming graphs として投稿準備中である.
(2)平面上のn点集合に現れる距離の個数についてErdosにより予想された下界がある(Erdos distinct distances problem).また,Erdos-Fishburn の予想として,7以上のkに対して現れる距離の個数kが頂点数に対して十分小さいとき,その点配置は正三角格子の部分集合になるという予想がある.点配置が P_4 を含むという強い制約の下で,k=7においてその予想が正しいことを示した.この結果に関して,応用数学合同研究集会など3つの研究集会で講演を行った.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

目標とする予想の解決にはまだ遠いが,類似の予想を提示でき小さな糸口が見出せた.

今後の研究の推進方策

Erdos distinct distances problem について,これまでの研究により,格子との繋がりを頼りに研究を進めていくと良いだろうという手ごたえが得られた.例えば,次のような問題に取り組む.
(1)正三角格子や正方格子上の点配置に制限し,よい距離集合を特徴付ける.
(2)適切なmに対して,頂点数がkに対して十分大きく P_m を含んでいるならば,その点配置はある格子上にのることが示せないか.
(3)禁止される距離構造をもとに,適切な条件下で点配置がP_m(または同一直線上のm点)を含んでいることが示せないか.
(4)解析的整数論を用いて,各格子に関する定数と距離の個数の下界に現れる定数の関係性について理解を深める.

報告書

(2件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 研究成果

    (16件)

すべて 2024 2023 2022

すべて 雑誌論文 (8件) (うち国際共著 3件、 査読あり 6件、 オープンアクセス 5件) 学会発表 (8件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Embedding Dimensions of Matrices Whose Entries are Indefinite Distances in the Pseudo-Euclidean Space2024

    • 著者名/発表者名
      Nozaki Hiroshi、Shinohara Masashi、Suda Sho
    • 雑誌名

      Bulletin of the Iranian Mathematical Society

      巻: 50 号: 1

    • DOI

      10.1007/s41980-023-00842-z

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Spherical designs and modular forms of the $$D_4$$ lattice2023

    • 著者名/発表者名
      Hirao Masatake、Nozaki Hiroshi、Tasaka Koji
    • 雑誌名

      Research in Number Theory

      巻: 9 号: 4 ページ: 77-77

    • DOI

      10.1007/s40993-023-00479-1

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the multiplicities of digraph eigenvalues2023

    • 著者名/発表者名
      Gavrilyuk Alexander L.、Suda Sho
    • 雑誌名

      Linear Algebra and its Applications

      巻: 673 ページ: 101-137

    • DOI

      10.1016/j.laa.2023.04.008

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [雑誌論文] Rationality of the inner products of spherical s-distance t-designs for t≧2s-2, s≧32022

    • 著者名/発表者名
      Boyvalenkov Peter、Nozaki Hiroshi、Safaei Navid
    • 雑誌名

      Linear Algebra and its Applications

      巻: 646 ページ: 107-118

    • DOI

      10.1016/j.laa.2022.03.028

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] On the spectrum and linear programming bound for hypergraphs2022

    • 著者名/発表者名
      Sebastian M. Cioaba, Jack H. Koolen, Masato Mimura, Hiroshi Nozaki, and Takayuki Okuda
    • 雑誌名

      European Journal of Combinatorics

      巻: 104 ページ: 103535-103535

    • DOI

      10.1016/j.ejc.2022.103535

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Q-polynomial coherent configurations2022

    • 著者名/発表者名
      Suda Sho
    • 雑誌名

      Linear Algebra and its Applications

      巻: 643 ページ: 166-195

    • DOI

      10.1016/j.laa.2022.02.009

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Square (1,-1)-matrices with large determinants and near-Hadamard matrices2022

    • 著者名/発表者名
      K. Momihara, S. Suda, Q. Xiang
    • 雑誌名

      Linear Algebra and its Applications

      巻: 654 ページ: 28-55

    • DOI

      10.1016/j.laa.2022.08.028

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] On a class of optimal constant weight ternary codes2022

    • 著者名/発表者名
      Kharaghani Hadi、Suda Sho、Zaitsev Vlad
    • 雑誌名

      Designs, Codes and Cryptography

      巻: 91 号: 1 ページ: 45-54

    • DOI

      10.1007/s10623-022-01096-2

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 距離集合における格子予想と関係する小さな例について2023

    • 著者名/発表者名
      篠原雅史
    • 学会等名
      数理情報科学さくらセミナー2024
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 距離集合における格子予想について2023

    • 著者名/発表者名
      篠原雅史
    • 学会等名
      応用数学合同研究集会2023
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 距離集合に関する分類問題と格子予想について2023

    • 著者名/発表者名
      篠原雅史
    • 学会等名
      2023大分宮崎整数論研究集会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] よい距離集合の分類問題について2023

    • 著者名/発表者名
      篠原雅史
    • 学会等名
      応用数学交流研究会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Uniqueness of the D4 root system as tight antipodal spherical {10, 4, 2}-design2023

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Nozaki
    • 学会等名
      Sphere packings, coverings, and spherical codes
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] 高次元の点配置と距離集合2023

    • 著者名/発表者名
      篠原雅史
    • 学会等名
      数理情報科学さくらセミナー
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 4-(11,5,1) デザインに関係するアソシエーション・スキームの一意性2023

    • 著者名/発表者名
      須田庄, A. L. Gavrilyuk
    • 学会等名
      日本数学会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] Bounds for sets with few distances distinct modulo a prime ideal2022

    • 著者名/発表者名
      野崎寛
    • 学会等名
      第38回代数的組合せ論シンポジウム
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演

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公開日: 2022-04-19   更新日: 2024-12-25  

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