HDG法における反復型領域分割法の開発

• 研究課題/領域番号: 22K03432
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12040:応用数学および統計数学関連
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 及川 一誠 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (10637466)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円); 2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
• キーワード: 数値解析 / HDG法

研究開始時の研究の概要

偏微分方程式の大規模な数値計算において，領域分割法に基づいた並列計算は非常に効果的である．本研究ではHybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) 法における新しい反復型領域分割法の開発と数学解析を行う．
同時に，インターフェース条件を介したカップリング問題に対しても，インターフェース上のハイブリッド変数を反復させるタイプのHDG法の開発を行う．最終的には，反復型領域分割法とインターフェース反復法を自然な形で融合させた数値計算手法の開発を目指す．

研究実績の概要

2次元Poisson方程式のDirichlet境界値問題をモデル問題とし，HDG (Hybridizable Discontinuous Galerkin) 法の非重複領域分割法 (non-overlapping domain decomposition method) に基づく反復解法に関する研究を行った．
対象領域は重複のない2つのサブドメインに分割されているという比較的単純な状況を仮定した．非重複領域分割法では，サブドメイン間のインタフェース上で連続性に関するある条件を満たすように，それぞれのサブドメイン上でPoisson方程式を解くことが要求される．これを実現するために通常の有限要素法では，Dirichlet-Neumann交代アルゴリズムおよび Neumann-Neumann法，FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting)法 (あるいは，Dirichlet-Dirichlet法) の3手法が有効であることが知られている．これらの3手法のアイデアに基づき，サブドメイン間のインターフェースにおいて数値トレースおよび数値流束を適切に導入することで，HDG法においても非重複領域分割法の反復解法が導出できることがわかった．有限要素法ではインターフェース上の厳密解の勾配は方程式の残差の形に書き直してから離散化を行う必要があったのに対し，提案手法ではそのような操作が必要ないという点で異なる．適合有限要素法と提案手法について数値計算を実施して比較したところ，提案手法は適合有限要素法と同様に良好な収束性を示すことが確認できた．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

通常の有限要素法に対して，Dirichlet-Neumann交代アルゴリズムおよびNeumann-Neumann法，FETI法の3手法が有効であることはよく知られている．本年度は，これらの3手法がHDG法に応用できることがわかり，さらに数値実験でも良好な収束性が確認できた．これによりHDG法の非重複領域分割法の基礎的部分が確立された．よって，本研究は計画通り順調に進展していると考える．

今後の研究の推進方策

本年度は対象領域を2つのサブドメインに分割するというシンプルな状況を考え，
HDG法の反復型非重複領域分割法の研究を行った．今後は，より多くのサブドメインに分割されたより複雑な状況に対して，HDG法の反復解法の有効性について調査する予定である．