| 研究課題/領域番号 |
22K03434
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
大木谷 耕司 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (70211787)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2025年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2024年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 非圧縮性流体 / 可積分系 / 熱方程式 / 自己相似解 / 対流項の役割 / 非圧縮性流体力学 / Navier-Stokes方程式 / Burgers方程式 / 擬可積分系 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
一般化された非圧縮性流体力学の方程式を提案し、それらの性質を理論的、数値解析的に解明する事が本研究の目的である。従来、流体力学に関する数学解析的な研究は、非線型偏微分方程式の解の存在、一意性の研究に重きを置いてきた。とりわけ非圧縮性流体ではこの傾向が強い。一方、圧縮性流体のモデルには、Burgers方程式など、解の表現が明示的に得られる可積分系がある。本研究では、(i) Navier-Stokes方程式と Burgers方程式とを「補間」する方法を提案し、(ii) 両者の中間に現れる方程式の解の性質を調べる。(iii) さらに、後者から前者の解の表現を近似的に構成することを試みる。
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| 研究実績の概要 |
3次元Burgers方程式とNavier-Stokes方程式を補間する一般化流体方程式を提案した。その数値計算のためのコードを作成し、数値実験を実行した。多次元Burgers 方程式は、 Cole-Hopf 変換により。熱方程式に帰着できるという意味で線型化出来て可積分である。他方、 Navier-Stokes 方程式には、そのような性質はなく、可積分ではないと考えられている。
2次元の場合の自然な拡張として、3次元流の場合もベクトル・ポテンシャルを用いて、支配方程式を書き下す事により Navier-Stokes 方程式の移流項の速度勾配を90度回転させると、 Burgers 方程式と等価な系が得られる。そこで、回転角に対応するパラメターを導入し、それを連続的に変化させることによって、一般化された非圧縮性流体力学を考えた。こうして、可積分系とそうではない系の性質を、連続パラメターによって接続し比較することができる。いろいろな角度に対して、直接数値計算を行い、角度に依って流れの性質が如何に変わるかを検討した。ノルムで見る限り、角度が小さい程、正則性がよくない事がわかった。特に、回転角0の場合のBurgers方程式の場合が可積分であることに注目に値する。
2次元の場合の結果について口頭発表を行い、フィードバックを加味した上で、学術誌へ投稿中である。3次元の場合についても、数値計算の予備的な結果は口頭発表済みであり、数値結果を解析して原稿を準備中である。また、以前の全空間における流れの研究で自己相似解の研究と関連して、3次元Navier-Stokes 方程式とBurgers方程式を比較する研究も行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2次元の場合の拡張として、3次元の場合にもNavier-Stokes 方程式とBurgers方程式を補間する一般化方程式の数値計算を行なった。2次元の場合と同様に、エンストロフィーノルムで見る限り、定性的には Navier-Stokes 方程式よりBurgers方程式の方が解の性質が劣る事を示した。
前年度、数値的に決定した３次元 Navier-Stokes 方程式の自己相似解のプロファイルを、渦渡方程式に基づく数値計算によって再計算し、結果が正当なものであることを確認できた。また、各々の場合に、線形化方程式の解と比較し、小さいながらも有意な差が残ることを見出した。
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元Navier-Stokes 方程式とBurgers方程式を補間する一般化方程式の解の性質のより定量的な比較を行なう。特に、3次元 Navier-Stokes方程式の解の正則性の判定基準を数値的に評価することを試みる。また、Burgers方程式は熱核の方法で求積できる可積分系である事に注目し、 Navier-Stokes 方程式の近似解を構成することを試みる。
さらに Burgers方程式の自己相似解 (源泉型解)に対する、3次元 Navier-Stokes 方程式の対応物が数値的に得られたことを受けて、その形状を理論的に特徴づけることも試みる。
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