| 研究課題/領域番号 |
22K03463
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分13010:数理物理および物性基礎関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
矢久保 考介 北海道大学, 工学研究院, 教授 (40200480)
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| 研究分担者 |
小布施 秀明 北海道大学, 工学研究院, 准教授 (50415121)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 複雑ネットワーク / フラクタル / 長距離次数相関 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、複雑ネットワークに見られるフラクタル性の発現を説明する二種類のモデルを提唱する。一つは自己組織化臨界性（SOC）を呈するダイナミクスによるモデルであり、もう一つは小グラフの凝集過程による非SOC的なモデルである。現実の複雑ネットワークが、これら二種類の機構によって生じる得ることを実証的な研究により明らかにする。また、現実の複雑ネットワークがSOC機構と非SOC的機構のどちらの機構によってフラクタル性を獲得したかを判別する手法を提案する。さらに、それぞれのフラクタル形成機構に応じた構造制御を行うことで、機能性ネットワークをデザインする方策を探る。
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、複雑ネットワークにおけるフラクタル性がSOCダイナミクスと非SOC的な凝集過程の二種類の機構によって生じる得ることを明らかにし、形成機構に応じた機能性ネットワークの最適化を行うための知見を得ることである。この目的のため令和4年度には、確率的な逆繰り込み操作に基づく微小グラフの凝集モデルであるマルチジェネレーター・モデルを構築した。また、このモデルにより形成されるフラクタル・スケールフリー・ネットワーク（FSFN）は単純なフラクタル構造をもつのではなく、ハブと呼ばれる高次数ノード近傍の局所フラクタル次元とハブから離れた低次数ノード近傍の局所フラクタル次元が異なる値をもつ「バイフラクタル構造」を取るという注目すべき事実を明らかにした。令和5年度の研究では、マルチジェネレーター・モデルに限らず、フラクタル性とスケールフリー性を有するあらゆるネットワークがバイフラクタル性をもつことを明らかにすべく、様々なFSFNに対してマルチフラクタル解析を行った。その結果、臨界スケールフリー・ランダムグラフなど、調べた限りのすべてのFSFNにおいてバイフラクタル性が認められた。この事実より、任意のFSFNがバイフラクタル性を有することを我々は予想している。また、ネットワーク上で起こる現象が、構造的バイフラクタル性によってどのような影響を受けるかについても調べた。令和5年度は、様々なダイナミクスの基礎となるランダム・ウォークについて、その時間発展を特徴づけるウォーク次元とスペクトル次元を解析的に計算した。研究の結果、バイフラクタル性を反映して、単一ネットワークに値の異なる2つのスペクトル次元が存在することが明らかとなった。さらに、バイフラクタル構造と長距離次数相関、およびネットワークの頑強性の関係を明らかにするため、同次数ノード間の長距離反発を定量化する新たな指標を開発した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究では、複雑ネットワークにおけるフラクタル性の発現機構を説明するSOC的モデルと非SOC的モデルを構築し、それらによって作られるネットワークの構造特性や動的性質を詳細に調査・検討する。この目的のため令和4年度は、非SOC的時間発展によるフラクタル・スケールフリー・ネットワーク（FSFN）の形成モデルを提唱し、このモデルにより形成されるネットワークがバイフラクタル性を有することを明らかにした。また令和5年度の研究においては、バイフラクタル・ネットワーク上のランダム・ウォーク（RW）が、2つの異なる値のスペクトル次元により特徴づけられることを発見した。空間次元より低いスペクトル次元をもつ異常拡散は通常のフラクタル系でも見られるが、スペクトル次元が2つ存在するRWはこれまでに報告されたことが無く、質的に新しい発見である。その意味で、本研究の成果は統計物理学的にも極めて重要な意味をもつ。また、ハブ近傍のスペクトル次元が非ハブ近傍のスペクトル次元より小さいという事実は、たとえばSNS上での情報拡散について言えば、インフルエンサーからの情報発信は他の者からの発信よりも実は拡散しにくい、という常識とは異なる結論を導くことになる。このように、本研究で得られた知見は、ネットワーク上の社会現象の理解を助けることにもなり、機能性ネットワークの最適化にとっても有用である。
非SOC機構によるFSFNのバイフラクタル性やその上での特異なRW等は研究計画当初に予定していなかったものであるから、研究は予定以上に進展していると言える。しかしながら、想定を超えた新たな研究展開のため、SOCモデルにより形成されるFSFNにも同様の性質が見られるのか否かについては、まだ研究が進んでいないのが現状である。計画よりも大きく進展している部分と遅れている部分を総合的に評価すると、おおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度の研究により、非SOC的時間発展によるフラクタル・ネットワークがバイフラクタル性を有し、その上でのランダム・ウォークが2つのスペクトル次元によって特徴づけられることが明らかになった。令和6年度には、これらの性質がSOCダイナミクスにより形成されるフラクタル・スケールフリー・ネットワークにおいても見られるものなのか否かを明らかにする研究を行う。また、量子論的なランダム・ウォーク、すなわち量子ウォークの性質が、母体ネットワークのバイフラクタル性によりどのような影響を受けるかについても調査する。さらに、バイフラクタル性が多様なネットワーク・ダイナミクスに与える影響を系統的に調べるため、バイフラクタル・ネットワークのラプラシアン行列の固有値解析を行う。ラプラシアン行列は、ネットワーク構造やその上での様々なダイナミクスの性質を決める極めて基本的な行列であり、その固有値密度分布にはスペクトル次元が反映される。そのため、ラプラシアン行列の固有値解析を行うことで、同期現象や感染症蔓延などの諸現象とバイフラクタル性の関係を統一的に理解できる可能性がある。
現実ネットワークに見られるフラクタル性がSOC機構によるものか非SOC的機構によるものかを長距離次数相関を使って判別する手法の提案は、本研究の目的の一つになっている。しかしながら、長距離次数相関を記述する同時確率や条件付き確率が3変数関数であるため扱い難く、この目的を達成する上での障害となっている。令和6年度の研究では、この3変数関数からより扱い易い指標や評価方法を提案し、これを用いることでフラクタル性発現機構の判別を試みる。すでに令和5年度の研究において、同次数ノード間の長距離反発を表す指標の開発を行っているが、令和6年度には、この指標の有用性を検証するとともに、トポロジカルデータ解析の手法を用いた新たな評価方法を提案する。
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