| 研究課題/領域番号 |
22K11913
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分60010:情報学基礎論関連
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| 研究機関 | 神奈川大学 |
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研究代表者 |
西澤 弘毅 神奈川大学, 情報学部, 教授 (60455433)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 表現定理 / 二項関係 / ストーン双対性 / べき集合 / クオンテール / 代数系 / 位相空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
空間と代数系を一対一に対応させる性質として、ストーン双対性が知られている。この対応が見つかれば、空間の構造を理解するために空間内の点に直接言及しなくても代数的に推論することが可能になり、逆に、本来は無味乾燥な規則の集まりとして記述される代数系を、空間として具体的に理解することができる。
本研究は、二項演算のついた代数系と、二項関係を備えた空間の間にもストーン双対性を得ることを目的とする。
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| 研究実績の概要 |
集合的表現定理を拡張したストーン双対性の例が数多く知られている一方、べき集合クオンテールの関係的表現定理はストーン双対性へ拡張された例がない。本研究では、べき集合クオンテールの関係的表現定理を拡張したストーン双対性を得ることが最終目的である。そのために、表現定理をストーン双対性へ拡張するための申請者自身による2020年の既存手法であるオプファイバー内包理論を一般化し、べき集合クオンテールの関係的表現定理に具体化することが計画されている。 オプファイバー内包理論は圏Set上のアイレンベルグムーア圏に適用できた実績があるが、べき集合クオンテールの圏に適用できるかどうか明らかではなかった。2022年度の研究の成果としては、べき集合クオンテールの圏が圏Rel上のアイレンベルグムーア圏であることがわかった。そのため、SetとRelを含む形でオプファイバー内包理論を一般化できれば、べき集合クオンテールの圏にも適用できることがわかった。
それに引き続き、2023年度の研究の成果として、べき集合クオンテールの圏が圏Rel上のモノイダル構造に対するモノイド圏であることがわかった。また、べき集合クオンテールの圏がモノイダル三項関係という新しい概念を対象とする圏と同型であることもわかった。
そのため、オプファイバー内包理論を一般化した場合に、アイレンベルグムーア圏、モノイダル構造に対するモノイド圏、モノイダル三項関係の圏、のいずれかに適用できることが示れば良い、ということがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2022年度はオプファイバー内包理論を一般化して適用すべきターゲットとしては、アイレンベルグムーア圏しか明らかになっていなかったが、2023年度は、モノイダル構造に対するモノイド圏、モノイダル三項関係の圏、も含めて選択肢が3つに増えたため、今後に一般化が成功する可能性が高まったという点で、順調といえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、オプファイバー内包理論を一般化する計画である。オプファイバー内包理論は、圏A,B,Mと、BからAへの関手Rと、MからAへの関手cが与えられ、それらが指定された条件を満たす場合に、適用できる理論である。 Rel上のアイレンベルグムーア圏に適用する場合は、BとしてRelの反対圏を用い、Aとしてアイレンベルグムーア圏を用いることができるかどうか、を検証する。Rel上のモノイダル構造に対するモノイド圏に適用する場合は、BとしてRelの反対圏を用い、Aとしてモノイド圏を用いることができるかどうか、を検証する。
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