| 研究課題/領域番号 |
22K13885
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 北海道教育大学 |
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研究代表者 |
辻栄 周平 北海道教育大学, 教育学部, 准教授 (60755099)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 超平面配置 / 特性準多項式 / 特性多項式 / 交叉半順序集合 / デデキント整域 / 非結晶的ルート系 / 複素鏡映群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
超平面配置とは有限次元ベクトル空間の有限個の超平面の集まりである。
超平面の交叉という組合せ情報から特性多項式と呼ばれる不変量を得ることができる。特性多項式は超平面配置の補空間のポアンカレ多項式と同等であり，したがって，交叉という組合せの情報から補空間の幾何学的情報が得られることが分かる。
整数環上定義された超平面配置に対しては，代数的に定義される特性準多項式と呼ばれる不変量が得られる。特性準多項式は特性多項式よりも強い不変量である。
したがって，特性準多項式という代数的情報から，組合せ，及び幾何の情報が得られることが分かる。本研究は，この現象の代数的一般化を目標とするものである。
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、超平面配置の補空間の代数的構造を記述する基礎理論を構築することである。2023年度は、研究協力者である日本文理大学の黒田匡迪氏と定期的に研究打ち合わせを行い研究を推進した。
有理整数係数の1次式を定義方程式とする超平面配置を考え、自然数qを法とした剰余環における補空間の元の個数の数え上げ関数はqに関する準多項式となり、特性準多項式と呼ばれる。
有理整数環上の特性準多項式の理論を一般化し、得られた結果である代数体の整数環上（あるいは、もっと一般に剰余環が有限であるようなデデキント整域上）の超平面配置の特性準多項式の理論が Enumerative Combinatorics and Applications に掲載された。
代数体の整数環上の特性準多項式の理論を用いると、複素鏡映群のルート系に関する特性準多項式について考えることができるようになる。例外型の複素鏡映群のうち well-generated なものについて特性準多項式の周期を計算し、複素鏡映群に対する特性準多項式の周期とコクセター数の関係に関する結果を得ることができた。この結果は2024年度の研究集会「FPSAC 2024」（ルール大学ボーフム）において発表予定である。
しかし、なぜ得られた結果であるような現象が起こるのかの原理的な理解には至っていないので、今後は特性準多項式とコクセター数との関係を主眼として引き続き研究を行う。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
複素鏡映群に関する結果を得ることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
複素鏡映群に関する特性準多項式の周期とコクセター数に関する結果を得ることができたが原理的な理由が分かっていないので、関連する研究分野の研究者に意見を求めながら研究を進めていく予定である。
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