| 研究課題/領域番号 |
22K13888
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 極小モデル理論 / ACC予想 / LSC予想 / 特異点 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的はフリップの停止問題の解決を目標に据え、関連する様々な問題に、特異点理論からアプローチすることである。フリップの停止問題は極小モデル理論において重要な未解決問題の一つである。フリップの停止問題は特異点の問題である2つの予想（ACC予想とLSC予想）から従うことがShokurovにより証明されている。本研究ではACC予想とLSC予想の解決を目指す中で、特異点不変量に関する理解や、特異点解消との関係性についても理解することを目指している。
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| 研究実績の概要 |
(1) 今年度は、昨年度に引き続き、商特異点の極小ログ食い違い係数について研究した。超商特異点とは超曲面特異点の有限商となっているような特異点のクラスである。極小ログ食い違い係数に関する予想としてLSC(lower semi-continuity)予想とPIA(precise inversion of adjunction)予想があり、極小ログ食い違い係数を研究するモチベーションとなっている。一昨年度、群作用が線形である場合に、PIA予想とLSC予想の成立を証明し、昨年度は、群作用が非線形である場合にその議論を拡張している。本年度は、超商特異点とは限らない一般の商多様体について考察した。群の商を考えない場合には、Ein-Mustata、川北、石井により、defect idealを使った研究が知られている。本年度は、この議論を、商多様体に拡張する方向性で研究し、部分的な結果を得ることができた。
(2) 商特異点におけるShokurovのindex予想を研究した。Shokurovのindex予想とは、「正規代数多様体の次元と極小ログ食い違い係数を固定した場合に、その標準因子のCartier指数が上に有界となる」という予想である。商特異点の場合にこの予想を証明することができた。有限生成群についてのJordanの定理と呼ばれる定理を適用し、アーベル群の商に帰着することが証明の鍵となっている。アーベル群の商である場合には、特異点はトーリックとなり、組合せ論的な議論が可能となる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
商特異点におけるShokurovのindex予想を完全に解決することができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
超商特異点とは限らない一般の商多様体における極小ログ食い違い係数の研究はまだ完成していない。この方向性で一定の理解を得たいと考えている。
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