アーベル圏・三角圏の局所化理論の統一化とその表現論的応用

• 研究課題/領域番号: 22K13893
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 奈良教育大学
• 研究代表者: 小川 泰朗 奈良教育大学, 理数教育研究センター, 特任准教授 (70850147)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円); 2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2025年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: 三角圏 / アーベル圏 / 完全圏 / 拡大三角圏 / 局所化 / K理論 / 代数学 / 多元環の表現論

研究開始時の研究の概要

アーベル圏論と三角圏論は, 現代的なホモロジー代数の確固たる基盤を与えたと言って良い. これらの良い構造は, 様々な数学的研究を可能にする. 近年導入された拡大三角圏は, アーベル圏, 三角圏の類似点に着目し, 両者を包含する圏構造を与えた. 本研究は, 拡大三角圏の枠組みで両者の局所化理論の統一化を図るものであり, 差し当たり, 三角圏からアーベル圏を構成する良い枠組みを与える. 拡大三角圏の局所化は, トポロジー分野の基本的道具であるモデル圏と密接に関わるため, モデル圏の立場から, 局所化理論を再定式化することも意味があると考えられる.

研究実績の概要

アーベル圏・三角圏はホモロジー代数の研究を行う土壌だが、両者を包摂する概念として拡大三角圏（extriangulated category）が導入された。以来、アーベル圏・三角圏それぞれで分断された議論を統一的に扱う研究が盛んに行われている。本研究はこの流れに沿う。
今年度の研究実績として、arXivプレプリント（１編）及び、この続編に当たる内容を含む国内学会（１件）・国際学会（１件）を報告する。いずれも、他分野であるトポロジー（K理論）における重要な概念を、ホモロジー代数的な視点で捉え直すことを目的としたものである。arXivプレプリントでは、グロタンディークによる resolution theorem を拡大三角圏に良い形で拡張することに成功した。こちらは Journal of Algebra より既に受理されている。国内学会・国際学会にて報告済みの続編は、arXivプレプリントとして執筆中である。また、昨年度arXivに掲載した"Localization of triangulated categories with respect to extension-closed subcategories"は Algebras and Representation theory より受理されており間も無く掲載される。
今年度の研究実績はすべて国際共同研究による。これは2022年度の国際研究集会に参加した際の、意見交換をきっかけに始めたプロジェクトであることを申し添えておく。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究の目標であるK理論に実際に着手し、その「序盤の部分」と言える結果がプレプリントや口頭発表として形になったことは良い。しかし、出版が年度内に間に合わなかったことは気にすべきであろう。この続編の執筆が困難であることは予め認識していたことであって、「序盤」でもたつくようではこの先少々心配である。早く「難所」に着手したい状況にある。
一方で、K理論へのアプローチに使える（あるいは使えそうな）拡大三角圏の新理論が導入されたことには注目すべきである。高次圏の立場から拡大三角圏を捉えるものであり、三角圏上のK理論の構築として標準的な理論が、拡大三角圏にも適用可能であることが期待できる。

今後の研究の推進方策

(1)「拡大三角圏上でK理論を行うための基本的な圏の導入」：K理論を行う基本的な枠組みに Waldhausen category がある。しかし拡大三角圏とは相性が悪く、適切な改訂が必要となる。これは今年度の実績報告に含まれる部分で、概ね完成している。
(2)「拡大三角圏上でK理論」：(1)を基盤に進められると期待しているが、相当な困難があることが予想される。全く一般の状況では難しいだろう。一方で、傾対象の変異理論への応用を想定した設定では概ね予定通りのものが構築できそうである。
(3)「高次圏を通じたK理論」：高次圏を通じた拡大三角圏は導入されて間もない。従って、この研究計画が始まった時点では全く想定していなかったものである。(2)よりも優れたアプローチの可能性があり、(2)を進めつつ適宜、高次圏の言葉に翻訳することを検討している。

研究成果

• [国際共同研究] Aarhus University/Department of Mathematics(デンマーク)
• [雑誌論文] Localization of extriangulated categories (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiroyuki Nakaoka, Yasuaki Ogawa, Arashi Sakai
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 611 ページ: 341-398
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2022.08.008
  • 査読あり
• [雑誌論文] Localization of triangulated categories with respect to extension-closed subcategories (2022)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 雑誌名: arXiv 巻: 1 ページ: 1-34
  • オープンアクセス
• [学会発表] K0 of weak Waldhausen extriangulated categories (2023)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 学会等名: The 9th China-Japan-Korea International Symposium on Ring and Module Theory (CJK 2023)
  • 国際学会
• [学会発表] K0 of weak Waldhausen extriangulated categories (2023)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 学会等名: 第５５回環論および表現論シンポジウム
• [学会発表] Localization of triangulated categories with respect to extension-closed subcategories (2022)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 学会等名: Workshop and International Conference on Representations of Algebra (ICRA2022) @Universidad de Buenos Aires
  • 国際学会
• [学会発表] Localization of triangulated categories with respect to extension-closed subcategories (2022)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 学会等名: 第54回環論および表現論シンポジウム @埼玉大学
• [学会発表] Extriangulated categoryの局所化について(I),(II) (2022)
  • 著者名/発表者名: 小川泰朗
  • 学会等名: 東京理科大学 第53回神楽坂代数セミナー
  • 招待講演