| 研究課題/領域番号 |
22K13898
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
片岡 武典 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 講師 (80934596)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 数論 / 類群 / 岩澤理論 / 岩澤加群 / 木田の公式 / Selmer複体 / Drinfeld加群 / Euler系 / Fittingイデアル / グラフ理論 / 整数論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
代数体のイデアル類群や楕円曲線のSelmer群などは，数論における重要な研究対象である．そういった対象を数論的加群と総称し，さらにGalois群の作用を込めたものを数論的Galois加群と総称する．本研究の目的は，種々の環論的な不変量を駆使した数論的Galois加群の構造決定へのアプローチを構築することである．具体的には，様々な数論的Galois加群について，そのFittingイデアルなどの不変量を考察し，その情報から加群の構造を考察する．
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| 研究実績の概要 |
2023年度は，以前の実施状況報告書に記載した研究の取りまとめ等と並行して，主に次の3つのテーマに取り組んだ．(1) Selmer複体による木田の公式．(2) 岩澤加群の擬零性．(3) Drinfeld加群のTaelman類群．これらについてそれぞれ述べる．
(1) 岩澤理論における木田の公式は，岩澤不変量の体拡大に対する振る舞いを記述するものである．本研究では，Selmer複体の理論を活用して，様々な数論的状況で木田の公式を統一的に導く，新たな方法を確立した．応用として，既知の公式を再証明したり，新たな公式を得たりすることができた．この成果は，津田塾大学整数論ワークショップで口頭発表するとともに，プレプリントとして公開した．
(2) 不分岐岩澤加群の擬零性について，一般Greenberg予想という古典的な予想が知られている．これに関連して，本研究では，主に非可換岩澤理論の文脈で，総実体のp分岐岩澤加群の擬零性の必要十分条件を得た．この結果は双対性により不分岐岩澤加群のマイナス部分についての主張に読み替えることができ，応用として擬零性が滅多に成り立たないことがわかった．
(3) Drinfeld加群に対するTaelman類群は，代数体に対するイデアル類群の類似として提案されたものである．本研究では，Taelman類群をガロア加群として考察する最初のステップとして，ある種の不分岐性の仮定のもとで，岩澤類数公式の類似を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で(1)として述べた事項は，2022年度に得たグラフ理論に関する成果を動機として進展したものであり，理想的な流れで研究が進んでいる．また2022年度から行っている類群の同値類についての研究についても，類群のとりうる同値類を決定することができた．これらは本研究課題の計画に合致している．一方で(3)として述べた事項では，ある程度の成果を得ることができたものの，現状では不分岐性という仮定がなされており，この点について改良が期待される．またTaelman類群のGalois加群としての構造は研究途上である．これらを総合して，上記区分とした．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で(2)として述べた事項について，細部を詰めたり関連事項を考察したりしつつ，2024年度中に取りまとめる．(3)については，不分岐性の仮定を取り除くことをひとつの目標として，コホモロジー解釈などを活用して考察を続ける．
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