| 研究課題/領域番号 |
22K13900
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
武田 渉 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 助教 (20897326)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | Brocard-Ramanujan問題 / 素イデアル分布 / Ramanujan-Nagell方程式 / Schur多重ゼータ値 / Plucker関係式 / Desnanot-Jacobi公式 / Suranyi-Hickerson予想 / 素数表現定数 / 超越数 / 代数的独立性 / Schur多重ゼータ関数 / Pieri公式 / 素数表現関数 / Manin予想 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ディオファントス問題とは方程式の整数解や有理数解を求めるものであり, これまで様々な手法や道具を用いることで多くの研究成果が得られている研究課題である. 本研究ではBrocard-Ramanujan問題やManin予想といった未解決問題に対して, これまでの整数論的手法に組合せ論的手法を新たに融合させて研究を行う. 具体的には, 各方程式に対して解の個数の数え上げを組合せ的および代数的に行い, その個数の漸近式を解析的に与える.
また, 上記研究と並行して, 組合せ論的構造を持つSchur多重ゼータ関数やその類似関数の性質に関する研究も行い, 整数論と組合せ論の橋渡しを行うことを目指す.
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| 研究実績の概要 |
本年度主に行った研究はノルム形式に対するBrocard-Ramanujan問題の解を具体的に構成するというものである. 特にべき根拡大体を用いて, 解の構成を行った. ここで, べき根拡大体を選んだ理由としては以前の研究で解の有限性を示す際に鍵となった素イデアルの分岐の性質が解の構成に適していると考えたためである. 実際に多くの解を持つようなべき根拡大体を使い, 解が22個以上存在する方程式が無限個あることを示した. これまでこのような明示的な結果はなかったため, 本研究に新しいタイプの結果を与えたといえる. これらの結果はProc. Amer. Math. Soc. Ser. Bに掲載された.
また, 高次のRamanujan-Nagell型の方程式の解の分布に関する研究も進めた. 本年度当初の計画に沿って, Pade近似を用いた研究をしたところうまく適用ができない部分があることが分かったため, 単数方程式との関連を意識していくつかの計算を行った. まだ計算途中であるが今後まとめて論文とする予定である.
また山崎義徳氏(愛媛大学)と共にSchur関数の9th variationの2次関係式を与えた. 鍵となったものはPlucker関係式やDesnanot-Jacobi公式であり, 以前の研究を一般化する包括的な研究となっている. この結果の応用例として, 長方形typeのSchur多重ゼータ関数の関係式や特殊値として正規化Schur多重ゼータ値の計算も行った.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ノルム形式に対するBrocard-Ramanujan問題の解の構成は本研究課題の1つの大きな目標である. 本年度, 解の構成について一定の成果として得られ, その論文が公開された. さらに本問題に関する今後の研究についてもいくつかの展望が見えているため, おおむね順調であると判断した.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もBrocard-Ramanujan問題の解の構成を柱として研究を進める. これまでの研究はべき根拡大体に限定して解の構成をしていたが, 他の体に対しても同じように解の構成を考える. 例えば, 円分体は解が少ないことが容易に想像がつくため, 解が存在しないことの証明などもできることが期待される. 解が存在する円分体と存在しない円分体の分類が当面の１つの目標となる.
他の不定方程式の研究としてはRamanujan-Nagell方程式をはじめとした指数型不定方程式についても研究の幅を広げた研究をする予定である. 特にこれまでの研究で得られている高次のRamanujan-Nagell型方程式の解の分布に関する結果の改良を行う. 具体的には現在得られている結果は2次のRamanujan-Nagell方程式において知られている多くの結果と比較して, とても粗いものとなっているため, この精密化を目指す.
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