| 研究課題/領域番号 |
22K13906
|
|---|
| 研究種目 |
若手研究
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
|
|---|
| 研究機関 | 日本文理大学 |
|---|
研究代表者 |
黒田 匡迪 日本文理大学, 工学部, 准教授 (70829316)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
|
|---|
| キーワード | GAPN関数 / APN関数 / 例外的数 / 代数的次数 / 代数曲線 / 幾何学的既約 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
Almost Perfect Nonlinear（APN）関数とは，有限体上で定義された高い非線形性を有する関数である．偶標数の場合は，暗号理論における研究対象の1つであり，符号理論などへの応用も知られている．一方で，奇標数の場合は，偶標数の場合の代数的な性質が成り立たず，これらの分野への応用はあまり知られていない．本研究では，偶標数のAPN関数の代数的な性質を保つ奇標数への一般化として構成されたGeneralized APN（GAPN）関数を単項の場合に深く研究し，その性質を明らかにすることで，GAPN関数の暗号理論，符号理論を含む他分野への応用を模索していく．
|
| 研究実績の概要 |
有限体上の非線形性が高い関数としてPN（Perfect nonlinear）関数やAPN（Almost PN）関数が研究されており，標数2の場合には，暗号理論や符号理論への応用が知られている．近年，標数2のAPN関数の代数的な性質を保つ奇標数への一般化であるGAPN（Generalized APN）関数が定義され，国内外の研究者によりその研究が進められている．本研究では，単項GAPN関数の分類について調べている．単項PN関数や単項APN関数の場合においても完全な分類を与えることは困難であり，未解決であるが，例外的（無数の有限体上でPNやAPNといった非線形性を保つ）な場合には特徴付けが与えられ，その分類が知られている．そのため，例外的GAPN関数の特徴付けを与えることが本研究の主な目的の1つである．標数2のAPN関数については，次の事実が知られている．有限体上の単項関数が定める代数曲線が幾何学的既約成分をもつとき，その関数は例外的ではない．奇標数のGAPN関数についても同様の事実が成り立つことを確かめた．この事実を用いて，既に構成されているもの以外に例外的GAPN関数が存在するかどうかを調べている．研究を進めていく中で，標数5以上の場合と比較して，標数3の場合の特殊性が観察されている．
本年度は，主に標数3の場合に，共同研究者の三井健太郎氏（神戸大学）と例外的GAPN関数の特徴付けに関する研究を行った．標数3の例外的GAPN関数について，多くの場合に分類を進めることができた．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
標数2の例外的APN関数の分類に関する研究を基に，標数3の例外的GAPN関数の特徴付けについて研究を行い，単項関数の指数に技術的な条件を加えた場合には，その分類を与えることができた．なお，多くの場合にこの技術的な条件を満たしている．
|
| 今後の研究の推進方策 |
標数3の例外的GAPN関数の分類については，技術的な条件を仮定した場合にのみ完了している．1つ目の課題として，この技術的な条件を仮定しない場合に分類を与えることが挙げられる．2つ目の課題として，標数5以上の場合の例外的GAPN関数の分類についての研究が挙げられる．上記2点の課題について，共同研究者の三井健太郎氏（神戸大学）と密に研究打ち合わせを行い，研究を進めていく．
|
