| 研究課題/領域番号 |
22K13909
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
山本 光 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50778173)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | カラビヤウ多様体 / ラグランジュ部分多様体 / 特殊ラグランジュ部分多様体 / 環状近傍 / 第二基本形式 / 完全非線形楕円型偏微分方程式 / 非線形偏微分方程式 / ハミルトン変形 / ミラー対称性 / 幾何解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
カラビヤウ多様体内に与えられたラグランジュ部分多様体を，局所ハミルトン変形により特殊ラグランジュ部分多様体に変形できるか?という問題を考える．非線形の楕円型偏微分方程式を解けば良いわけだが，これを連続法で解くことを計画している．非線形楕円型偏微分方程式としてどう表現するか？という問題設定にまず最初の難しいポイントがある．次に連続法で解けない場合何が起きているか？の分析が難しいところである．最後に「本当に局所ハミルトン変形で良いのか？」つまり問題の最適化を行うわけだが，ここにも難しいポイントがある．これらを解決しつつ，できるだけ定量的な評価を導出したい．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，カラビヤウ多様体と呼ばれる数理物理学などで頻繁に考察されるある種の多様体の中に与えられたラグランジュ部分多様体という次元がちょうど半分の部分多様体を，局所ハミルトン変形により特殊ラグランジュ部分多様体という体積が最小の部分多様体に変形できるか?という問題を完全非線形楕円型偏微分方程式の観点から調べることである．
当初，2022年度は「どんなラグランジュ部分多様体も局所的には特殊ラグランジュ部分多様体に変形できるか?そのときのフェイズに制約はあるか?」ということを研究し，2023年度に「ラグランジュ部分多様体の近傍で固定したワインシュタインの環状近傍の半径を外部のカラビヤウ多様体とラグランジュ部分多様体の曲率を用いて具体的かつ定量的に評価する」という計画であったが，考えを進める過程で，まず先に2023年度に行う予定にしていた「ワインシュタインの環状近傍の半径の定量的評価」を先に行うべきであろうと思い，計画の順番が前後するが，今年度はそれ（ワインシュタインの環状近傍の半径の定量的評価）を行い．これに関しては概ね完了した．具体的には外の多様体と中の多様体の誘導距離の比の情報と，外の多様体の単射半径と曲率と中の部分多様体の第二基本形式の値を使って具体的に書ける値で（ワインシュタインの環状近傍の）半径が評価できることが分かった．また，この計算の過程で，部分的ではあるが「特殊ラグランジュPDEを外部のカラビヤウ多様体とラグランジュ部分多様体の情報を用いて具体的に書き下す」ということも行われた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」の欄に記載したが，2022年度に行おうと計画していた内容と2023年度に行おうと計画していた内容を入れ替えたわけであるが，2023年度に行おうと計画していた内容に関しては予想通りある程度ストレートに考察や計算が進み，この後の研究で必要と思われる結果が得られたので，現時点では研究は「おおむね順調に進展している」と言えると思われる．
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| 今後の研究の推進方策 |
「研究実績の概要」の欄に記載したが，2022年度に行おうと計画していた内容と2023年度に行おうと計画していた内容を入れ替えた．従って，2023年度には当初2022年度に行おうと計画していた内容を行い，それ以降は交付申請書の通り行う．簡潔にまとめておくと，具体的には以下のようなことを行う．
2023年度は「どんなラグランジュ部分多様体も局所的には特殊ラグランジュ部分多様体に変形できるか?そのときのフェイズに制約はあるか?」ということを研究する．2024年度と2025年度は「与えられたラグランジュ部分多様体上の関数で，その外微分のグラフが特殊ラグランジュ部分多様体になるようなものが存在する（ or しない）とき，そのラグランジュ部分多様体はどのような条件を満たすべきか?」を研究する.2026年度は特殊ラグランジュ部分多様体を探す範囲の最適化を行う.
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