| 研究課題/領域番号 |
22K13912
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
桑垣 樹 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60814621)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 超局所層 / WKB解析 / シンプレクティック幾何 / 深谷圏 / リーマン・ヒルベルト対応 / 完全WKB解析 / 変形量子化 / 層量子化 / 超局所層理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
力学を記述するための幾何学であるところのシンプレクティック幾何学に何らかの変更を加えて量子力学を記述したい。古くからそのような方法はいくつか知られているが、層量子化という新しい考え方が近年現れ始めた。この概念はシンプレクティック幾何や代数解析を研究する上で非常に有用であり、その奥行きや他の量子化の形式との関連を深めることが、この研究の内容である。
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| 研究実績の概要 |
シンプレクティック幾何は古典力学の相空間の一般化であるので、その量子化の概念を模索することは自然である。いままでにシンプレクティック幾何の量子化の枠組みがいろいろ考えられてきた：幾何学的量子化、変形量子化などがある。ラグランジアン部分多様体はシンプレクティック幾何での基本的な概念の一つであり、その量子化もいろいろな方法が知られている。
層量子化とはラグランジアン部分多様体のある種の量子化であり、超局所層理論に立脚している。これはラグランジアン部分多様体の変形量子化との関係からWKB解析と関係し、またラグランジュ部分多様体のFloer理論とも関係する。この研究課題では、層量子化の理解を深め、上記の理論との関係を理解し、そしてそれらの理論の橋渡しをすることを目標の一つにしている。
超局所圏の理論をノヴィコフ環上で展開する論文の一つ目が仕上がり、arXIvに投稿した。。層理論において、Floer理論と類似の曲率付き代数がどのように現れるかが明らかになり、バウンディングコチェインの層理論的な意味もほぼ明らかになった。また、他の研究者と共同で、そのように現れる層量子化とFloer理論の間の同値を特別な場合に明らかにした。これはまもなくarXivに投稿できると思う。また、深谷圏のHodge理論化に関する研究や、深谷圏・完全WKB解析の関連に関する研究を行った。これらも来年度中に論文にまとめていこうと思う。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
超局所圏の理論をノヴィコフ環上での理解が大きく進んだ。関連する曲率付き代数を発見するなど、層の側の準備は整ってきた。また、深谷圏と層の間の期待する対応関係の一部もほとんど証明が完成した。WKB解析との関連はまだWKB解析側での理解が不足している部分があるが、これも順調に進んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
直近の課題は、深谷圏と層の間の対応を特別な場合に完成させることである。また、Floer理論とWKB
の直接的な関係をもうすこし明らかに理解する。
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