| 研究課題/領域番号 |
22K13914
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 山口大学 (2023)
広島大学 (2022) |
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研究代表者 |
寺本 圭佑 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (10830002)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2025年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 波面 / 焦面 / 混合型曲面 / フロンタル / 漸近線 / 特異点 / 擬球的曲面 / ガウス写像 / フロント / 曲率 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3次元ユークリッド空間内の特異点を許容する曲面のクラスにフロントやフロンタルと呼ばれるものがある。本研究では、フロントやフロンタルの焦面に現れる特異性と初期フロント/フロンタルの幾何学的性質や位相的性質を明らかにする。また、特異点の周りで有界なガウス曲率を持つフロントの焦面に対して、そのガウス曲率や平均曲率の振る舞いを調べる。さらに、フロントの幾何学的な研究手法や特異点論の手法を応用し、3次元フロントに対する特異ビョーリング公式の構成とその応用として、3次元ミンコフスキー空間内の混合型曲面に対する特異ビョーリング公式を構成する。
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| 研究実績の概要 |
本年度は、３次元球面内の平坦波面及びその双対曲面、３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面などに関する研究を主として行った。これらについて得られた成果は以下のとおりである。
１．３次元球面内の平坦波面は３次元ユークリッド空間内の擬球的波面と類似した性質を持つ。特に、ガウス・コダッチ方程式が線形波動方程式に対応することが知られている。この方程式の解を用いて、平坦波面に現れるカスプ辺やツバメの尾特異点の特徴づけを与えた。また、平坦波面に対応する単位法ベクトル（双対曲面）も３次元球面の平坦波面をなすことが知られており、それらに現れる特異点の特徴づけを与えた。さらに、平坦波面とその双対曲面がカスプ辺を持つとき、その点における不変量を計算し、不変量のある種の双対性を得た。一方、平坦波面の平均曲率に着目し、双対曲面の平均曲率との関係を示した。また、平坦波面の焦面が極小曲面をなすための条件を示した。
２．３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面とは写像として特異点を持ち、正則点集合において誘導計量が正定値、不定値、退化するものである。計量の退化する点を光的点と呼び、光的点かつ波面の特異点となるものを光的特異点という。これまでの研究において、光的点における不変量をいくつか定義したが、それらの光的カスプ辺における振る舞いを調べた。光的特異曲率について、光的カスプ辺の種類により零に収束することや非有界になることを示した。また、光的法曲率について、それが非有界になる条件を与えた。
以上の研究のほかに、フロンタルの漸近線の挙動や擬球的波面の焦面に現れるカスプ辺の幾何学的不変量の研究を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
混合型波面について、光的カスプ辺における不変量の挙動が明らかにできたことは本研究課題遂行において大きな進展であるといえる。また、３次元球面内の平坦波面の焦面が極小曲面（クリフォードトーラスの一部）となるための条件を導出する際に用いた手法は今後の可積分法手式で与えられる曲面の焦面の研究に役立つものと考える。
一方、フロンタル曲面の漸近線の挙動や特異点付き曲面の構成法については先行研究を見直す時間があまりとれず進展は少なかった。
以上のことから、おおむね順調に進展していると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、以下の課題に取り組む。
１．フロンタル曲面の曲率線・漸近線のふるまいについて：以前定義した非フロント特異点を持つフロンタル曲面の曲率線や漸近線の位相的ふるまいについて調べる。これらは、バイナリ微分方程式の解として定まるものであり、その判別式がモース型特異点を持ちうることがわかっている。したがって、判別式がモース型特異点を持つ場合の先行研究を精査し、位相的なふるまいを明らかにする。
２．特異曲面の構成について：まず、２次元多様体上に直交コソフスキ計量が与えられている場合を考察する。この計量に関するラプラス・ベルトラミ型作用素を定式化し、平均曲率関数との関係を明らかにする。その後、特異ビョーリング型問題を考察する。
これらの課題推進のために、国内外の研究者の下を訪ね議論をする。また、関連する研究集会に参加し、情報収集を行う。
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