| 研究課題/領域番号 |
22K13916
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 |
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研究代表者 |
武富 雄一郎 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任准教授 (60880664)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2026年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2025年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | リーマン計量 / 等長変換群 / 左不変計量 / べき零Lie群 / Ricci soliton / isotropy既約空間 / リーマン幾何学 / 対称空間 / 等質空間 / 等長作用 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
与えられた多様体上のリーマン計量全体のなす空間を「scalingの差を除いて等長的」という同値関係で割った商空間をリーマン計量のmoduli空間と呼ぶ． このmoduli空間に「等長変換群の大小」によって(前)順序を導入する． この順序に関して極大元を与えるリーマン計量を極大計量と呼ぶことにする． 極大計量はRicci flowなどの様々な計量発展方程式の自己相似解の例を供給してくれる興味深い対象である． 本研究では極大計量の例の構成, および分類を目指す．
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| 研究実績の概要 |
前年度までの研究で, 非べき零unimodular完全可解Lie群上の左不変な極大計量については良く分かった. 本年度はまず, 「与えられたべき零Lie群がいつ左不変な極大計量を許容するか」という問題に焦点を絞って研究を行った．非べき零unimodular完全可解Lie群上の左不変な極大計量は「nilradicalの直交補空間に自己同型群が既約に作用する」という性質で特徴付けられた. 現在得られているべき零の例は「centerに自己同型群が"きれい"に作用する」ものばかりだったので, べき零Lie群上の極大計量は「centerに自己同型群が既約に作用する」という性質で特徴付けられるのではないかという仮説のもとで研究を行った. その結果, 現在得られているべき零の例はすべて「centerに自己同型群が既約に作用する」ことが分かった. しかし, 「centerに自己同型群が既約に作用する」ことが必要であるかも十分であるかも分からなかった.
べき零の方面の進捗があまり芳しくないので, 趣向を変えて, 極大擬リーマン計量の例の構成にも取り組んだ. その結果, 現在得られている「辺推移的グラフから得られる左不変極大リーマン計量」の計量の符号を適当に変えることで, 左不変極大擬リーマン計量の例が得られることが分かった. これにより, 極大擬リーマン計量の非自明な例が豊富に得られた. この成果は"Proceedings of The 24th International Workshop on Differential Geometry & Related Fields"に掲載されている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
べき零Lie群上の左不変な極大計量について, あらたな知見があまり得られなかった. また, 前年度目標に掲げた「非unimodularな可解Lie群上の左不変な極大計量へのアプローチ」がほとんどできなかった.
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| 今後の研究の推進方策 |
可解Lie群上の左不変な極大計量の研究をさらに進める. 来年度以降は
(1)これまで得られた具体例を観察しつつ, 左不変な極大計量を許容するべき零Lie群の特徴付け・分類を試みる.
(2)左不変な極大計量を許容する非べき零unimodular完全可解Lie群の分類を達成するために, 「ユークリッド空間の部分ベクトル空間であって, 既約置換表現を 許容するもの」の分類を試みる.
(3)非unimodularな可解Lie群上の左不変な極大計量についてもアプローチを試みる. 先行研究により, 可解Lie群上の左不変Ricci soliton計量の等長変換群の計算方法がある程度確立されているため, それを足掛りにする.
(4)他の極大な幾何構造(e.g. 極大擬リーマン計量, 極大概複素構造)の具体例の構成を試みる. これまでの研究により, 可解Lie群上の極大幾何構造の例は得られているので, (半)単純Lie群上に非自明な左不変極大幾何構造がないかを調べたい.
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