| 研究課題/領域番号 |
22K13921
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 (2023)
国立研究開発法人理化学研究所 (2022) |
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研究代表者 |
谷口 正樹 京都大学, 理学研究科, 助教 (30880520)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | transverse結び目 / symplectic surface / symplectic filling / 同変Seiberg-Witten理論 / quasipositivity / Montesinos knot / branched covering space / contact構造 / Thurston-Bennequin不等式 / Floer homotopy / transverse knot / Thurston-Bennequin数 / contact invariant / transverse invariant / Yang-Millsゲージ理論 / Seiberg-Witten理論 / 開4次元多様体に対するゲージ理論 / コンタクト3次元多様体 / Floerホモトピー型 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
4次元多様体に対するゲージ理論は, 4次元多様体の微分構造・シンプテクティック構造の研究において強力な手法を与える. 本研究では, 2つの理論: 「ASD(anti-self-dual)方程式を用いるYang-Mills(以下YM)理論」
「Seiberg-Witten(以下SW)方程式を用いるSW理論」を扱う.
この研究は, 被覆空間・幾何構造に付随する非コンパクトな4次元多様体に対してゲージ理論を展開するものである. また, これを用いて低次元トポロジー・シンプテクティックトポロジーに応用することを目標とする.
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| 研究実績の概要 |
この研究は, 被覆空間・幾何構造に付随する非コンパクトな4次元多様体に対してゲージ理論を展開するものであり, さらに, これを用いて低次元トポロジー・シンプレクティックトポロジーに応用することを目標としていた. 今年度は, 主にコンタクト構造に付随する非コンパクト4次元多様体に対するSeiberg-Witten理論の展開に関する研究を行なった. 一つの成果として, 「Monopoles and transverse knots」というタイトルの論文を飯田暢生氏と書き, arxivに投稿した(arXiv:2403.15763).
この論文では以下の考察を行った: ホモロジー3球面とのその上のcontact構造, その中のtransverse結び目に対して, 同変Seiberg-Witten Floerホモトピー不変量を定義し, transverseイソトピーの不変量であることを示した.
・branched coverに対して定義される同変Seiberg-Witten Floer理論のいくつかの構造定理を証明した. この理論はもともとBaraglia-Hekmatiにより展開されていたものである.
・上記の構造定理を用いて, 結び目コンコーダンス不変量 q_Mを定義し, これがslice torus不変量になることを示した.
・q_Mや, Baraglia-Hekmatiのθ不変量を計算することで, Montesinos knotがquasipositiveになるための障害を与えた. D^4のブローアップに埋め込まれたsymplectic surfaceのホモロジー類に強い制約を与えた.
これらの結果は, contact構造に付随する非コンパクトコーン上でSeiberg-Witten理論を展開することにより得られたものである.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
上記に発表した論文「Monopoles and transverse knots」(arXiv:2403.15763)では, 結び目のquasipositivity, symplectic曲面の存在問題等に強力な応用がある. これらの応用は現状, Heegaard Floer理論, instanton Floer理論などの他の理論から回復不能なものになっており,今後この手法は海外からも注目されることが予想される.
また, 理論を展開する中でいくつかのより広いクラスの結び目や3次元多様体を扱える可能性も秘めており, これからの理論発展も大きく見込まれるものである. 例えば, 「Monopoles and transverse knots」では主に次の状況を考えていた:
・branched coverのorder が2であるもの
・S^3内の結び目
一つ目に関しては, 2である必要はなく, 一般に素数や素数べきの場合には拡張が見込まれる. その場合にも部分的には理論をすでに構築しており, その場合により強い応用が得られることが期待される. また, 二つ目に関しても, S^3である必要はなく, ホモロジー３球面に困難なく理論を拡張することはできる. しかし, 計算可能性の都合上, 前述の論文ではS^3の場合に制限して議論していた. これについても計算ができるための十分条件を満たす3次元多様体のクラスには目星がついており, 今後継続して考察を進めていく予定である.
また, 今年度は, 以前arXivにアップロードしていた周期的多様体状のゲージ理論を考察する論文「Positive scalar curvature and homology cobordism invariants」がJournal of Topologyにアクセプトされた.
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| 今後の研究の推進方策 |
上記にある通り, 「Monopoles and transverse knots」(arXiv:2403.15763)の先に広がるいくつかの方向性を進める.
すなわち,
・branched coverのorder が素数pであるもの
・ホモロジー３球面の中の結び目
に対してより一般の理論展開を行う. また, 計算の都合上, ホモロジー３球面上のコンタクト構造は, planer open book decompositionが存在する場合を考える. この状況で理論を展開することで, 結び目コンコーダンス群上の加算種類の関数 q_M^p が得られる. この関数がhomomorphismになるか, という問題は, p=2でない場合については未解決である.
また, transverse結び目の同変Seiberg-Witten Floerホモトピー不変量をより多くの例について計算するため, この不変量のsymplectic cobordismに対する自然性も残った問題である. 不変量を計算するという面では, 同変理論でない場合, Heegaard Floer理論でPlamenevskayaはコンタクト不変量の線型独立性に関する主張を証明しており, これの同変版も現在議論中である.
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