| 研究課題/領域番号 |
22K13926
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
松浦 浩平 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90874355)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 反射壁ブラウン運動 / 離散近似 / 拡散過程 / 道ごとの一意性 / 境界条件 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では領域上の拡散過程を調べる。特に、拡散係数がヘルダー連続であり、領域の境界上で退化する場合、領域の境界がフラクタル集合のように複雑になる場合を扱う。このような状況は特異なものだが、数理ファイナンスと集団遺伝学に起源をもつpolynomial diffusionや一様領域上の反射壁ブラウン運動といった例を含み、理論・応用の両面で重要な研究対象である。この種の拡散過程を詳しく調べるため、その一意性と近似に関する理論を深化させる。polynomial diffusionの道ごとの一意性、及び一様領域上の反射壁ブラウン運動の境界局所時間に対する離散近似といった具体的問題を通じて研究を行う。
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| 研究実績の概要 |
京都大学の日野正訓氏とその学生であった真木新太氏との共同研究において、領域上の反射壁ブラウン運動に対する離散近似を得た。この近似は領域の分割上のマルコフ連鎖によるもので、一様かつ独立なランダム点配置から定まるボロノイ分割など不均一な分割を例に含む点が新しい。この研究は前年度に引き続いて行ったものであるが、状態空間である領域のクラスを拡張するなど、前年度にはなかった改良を加えることが出来た。より具体的には領域の境界集合の滑らかさを落とす方向に研究を進め、境界集合を記述する関数が微分可能であり、その導関数がヘルダー連続になるような場合にも前年度の結果が成り立つようにした。離散近似は確率過程の収束のレベルで得ることが出来たが、反射壁ブラウン運動の離散近似に関する先行研究では劣マルチンゲール問題のwell-posednessが利用されていた。我々が得た反射壁ブラウン運動の離散近似はそれと異なり、生成作用素の列がノイマンラプラシアンに一様収束することから従う。一様ノルムの意味でのノイマンラプラシアンの離散近似は半空間など特殊な領域においてしか得られていないように思われる。本研究では一様収束のための補正項を導入していて、そこが解析的にも興味深い点だと考えている。また本研究に関する発表を日本数学会の特別講演の場で行うことが出来た。研究結果に関する論文を執筆し、arXivで閲覧可能な状態にした（arXiv:2310.08340）。同時にこの論文を学術誌に投稿することも出来た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
反射壁ブラウン運動に対する離散近似の結果は（証明も含めて）既存のものと本質的に異なっており、興味深い結果となったため。この結果に関する論文を完成させることが出来たため。
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| 今後の研究の推進方策 |
上述した反射壁ブラウン運動に対する離散近似では状態空間の境界集合に滑らかさの仮定を課している。まずはこの仮定を弱めるための研究を行いたい。そのためには生成作用素の列の収束を一様ノルムではなくL2ノルムの意味で捉えることが重要であるが、L2ノルムの定義に必要な測度の素性はまだ明らかになっていない。マルコフ連鎖を用いた離散近似の専門家との交流を通じて、研究を進める。
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