複雑なグラフ上のランダムウォークの性質の研究

• 研究課題/領域番号: 22K13928
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 静岡大学
• 研究代表者: 岡村 和樹 静岡大学, 理学部, 講師 (20758784)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円); 2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
• キーワード: ランダムウォーク / スペクトル次元 / グラフ / 確率過程

研究開始時の研究の概要

不均質なものも含めた空間上の確率過程や確率場の性質について研究する。その中でも特に「空間の幾何学的性質がその上の確率過程の長時間挙動にどう影響するか」という問いの解明を目指す。不均質な媒質の上の熱の拡散の速さなどの解明に繋がりうるという観点からも重要である。 パーコレーションの無限連結成分やランダム平面写像などの複雑なグラフ上のランダムウォークの長時間挙動、例えば訪問点の個数や、大もしくは中偏差原理のレート関数の性質などを調べる。

研究実績の概要

「空間の幾何学的性質がその上の確率過程の長時間挙動などの確率的対象にどう影響するか」という問いの解明を目指して研究を行った。パーコレーションクラスター上のランダムウォークのレート関数のパーコレーションのパラメーターに関する連続性は、末尾事象の減衰の速さがパーコレーショ ンのパラメーターについて連続であることを意味するが、筆者はこれをDrewitz-Rath-Sapozhnikovのパーコレーションモデル、Andreasらによる変形に興味を持って考察を進めている。
パーコレーションクラスターの上のランダムウォークの訪問点の個数を考察した。いわゆるquenchedなランダム媒質の場合は、その上のランダムウォークの出発点と終点が一致するon-diagonalの場合の熱核評価は対数修正がかかることから、整数格子でいえば2次元と3次元の間にあるような、再帰性の度合いが中間レベルに当たるグラフと類似している面があると考え、そのようなグラフ上の訪問点の個数などの研究との関連を見据えて研究を行っている。
また、有限グラフの頂点の個数を大きくするときの極限について、カットオフ現象（もう少し具体的には、ある時刻を境に急に定常測度に近づく現象）が起こるかどうかを、付随する無限グラフのスペクトル次元が2であるようなグラフの場合について、否定的に解決することを目指して考察した。スペクトル次元が2でない場合はDembo-Kumagai-Nakamuraによる結果(2018)がある。そこでは筆者が以前に考察した訪問点の個数よりもむしろ被覆時間に関する研究が密接に関わっていると予想できる。そこで2次元整数格子の場合の先行研究であるDembo-Peres-Rosen-Zeitouniでは、整数格子よりも難しい2次元のリーマン多様体の場合が考察されており、そこでの手法を参考にして考察を進めている。

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

思ったように考察を進めることができなかったため。

今後の研究の推進方策

関連する文献の理解を深めることに加え、取り扱う設定を少し変更するなど、より広い視点から研究を行う。