| 研究課題/領域番号 |
22K13931
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
長田 翔太 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 助教 (90901033)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 無限粒子系 / 相互作用粒子系 / マルコフ過程 / エルゴード性 / エルゴード分解 / 行列式点過程 / α行列式点過程 / Bernoulli性 / IID factor map |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本課題の研究対象は相互作用を持つ無限粒子系である．相互作用がポテンシャルで記述される無限粒子系の古典理論は，Dobrushin-Lanford-Ruelle（DLR）方程式に基づくGibbs測度の理論として1970年頃に確立した．一方，α-行列式点過程は2000年ごろ確立した核関数により特徴づけられる無限粒子系のクラスである．核関数とポテンシャルの対応は未開拓である．
本課題では，「α-行列式点過程が記述する粒子系の相互作用は何か？」という問に対し，「α-行列式点過程は無相関な点過程であるPoisson点過程とどれだけ近いか？」という観点からα-行列式点過程の相互作用の解明に取り組む．
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| 研究実績の概要 |
本課題の研究対象は相互作用を持つ無限粒子系である。本課題では，相互作用を持つ無限粒子系が「無相関な点過程であるPoisson点過程とどれだけ近いか」という観点から相互作用の解明に取り組む。点過程はランダムな点配置であり静的な無限粒子系であるが，本研究ではそれを空間を運動する無限粒子系のスナップショットだと思うことで，ダイナミクスの立場から点過程の相互作用を解明する。本課題はダイナミクスの手法を用いる研究のため，点過程とダイナミクスの関係性を明らかにすることは研究遂行の重要なステップである。
今年度は，長田博文氏との共同研究によって，前年度Journal of Mathematical Physicsに掲載されたDyson's modelのエルゴード性を含む，点過程のエルゴード分解定理を証明した。この点過程のエルゴード定理は従来あまり広い範囲で示されておらず，モデルごとに示されることが多かったが，今回は一般的な定理を示せた。
この分解は点過程の性質としても重要であると同時に，付随するダイナミクスを扱ううえで重要な役割を果たす。
この分解定理は，点過程の末尾事象の自明性よりも少し強い条件がダイナミクスのエルゴード性を導くことを示している。特に，Dyson's modelの際の証明に用いた粒子数剛性が不要であるため，α-行列式点過程を含む様々な点過程に適応できる。また，点過程の対数微分のL^１可積分性が十分条件の一つとして機能するため，過去の結果の応用例にもなっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究で行う予定であるダイナミクスを用いた解析に役立つ一般的な定理を示すことができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は一般的な定理を示した。今後は，これまでに得た定理を論文にまとめつつ，さらに具体的なモデルに適用することを目標とする。
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