| 研究課題/領域番号 |
22K13936
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 信州大学 (2023)
早稲田大学 (2022) |
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研究代表者 |
中里 亮介 信州大学, 学術研究院工学系, 助教 (00910837)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 拡散波 / Fourier-Herz空間 / 最大正則性 / 圧縮性粘性流体 / 漸近安定性 / 臨界適切性 / Hall-MHD方程式 / Herz型空間 / 電磁流体 / ホール効果 / 特異極限 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本課題では, Hall効果が圧縮性・非圧縮性電磁流体に及ぼす影響を, 長時間漸近挙動や特異極限等の数学的観点から解明することを目的とする. この問題はHall効果を考慮したOhmの法則を導入し, Navier-Stokes方程式とMaxwell方程式の連立系にMHD近似を施すことにより正当化されることが知られている. 導出された方程式系はスケール不変性という特性を有するため, その初期値問題の適切性(解の存在と一意性, 統撤性, 時間連続依存性)や平衡状態周りでの漸近安定性を不変スケールから自然に定まる実補間空間上で考察する.
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| 研究実績の概要 |
今年度は, 量子効果を伴うHall-MHD方程式に磁場が関与しない場合の問題である, 圧縮性Navier-Stokes-Korteweg方程式の初期値問題をスケール臨界空間上で考察した. なお以下の研究成果は, 大阪大学の小林孝行氏との共同研究に基づくものである.
1. Navier-Stokes-Korteweg方程式の持つ良い線形構造と非線形構造に着目し, 端点臨界Fourier-Herz空間上での時間大域適切性を証明した. 証明の鍵は, ダイバージェンスフォーム型の積関数に対する, Fourier-Herz空間上での非線形評価である.
2. 1. で構成した時間大域解に対し, 初期値の低周波帯に付加的なFourier-Herzノルムの小ささを課すことで, 定数定常状態周りでの解の漸近安定性を証明した. またより詳細な解の長時間挙動を表す線形近似評価についても同様の枠組みで導出することに成功した.
3. 圧縮性の解の持つ分散構造に着目し, その分散構造が解に及ぼす影響(拡散波)を捉えた時間減衰評価の導出についても考察した. この減衰評価をここではDiffusion Waveと呼ぶことにすると, Diffusion Waveは初期関数が滑らかな場合にはよく知られていたが, 臨界空間に属するような正則性が悪い初期関数に対しては今まで知られていなかった. 本研究では, 解の持つ最大正則性を考慮した時間重み付きの汎函数を導入することで, 初期関数の正則性が悪い場合に起こる問題点を解消した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
圧縮性Hall-MHD方程式や量子効果を伴うHall-MHD方程式の解の長時間挙動を導出するための必要な技法について, 今年度の研究で十分に整備することができた. 他にも非圧縮性Navier-Stokes方程式の特異定常解であるLandau解周りでの漸近安定性や音速が0の場合の圧縮性Navier-Stokes-Korteweg方程式の解の長時間挙動に対しても応用が可能であるため, 今回得られた研究成果は, メインターゲットであるHall-MHD方程式だけでなく, 他の流体モデルへの広い応用が期待される.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は圧縮性Hall-MHD方程式の解の長時間挙動を臨界空間上で解明するために, 解の持つ正則性を引き出す手法について整備したい. 圧縮性の方程式は連続の式からくる双曲性が, 解の滑らかさに悪い影響を及ぼすので, そのような双曲性がある場合にも解の滑らかさを最大限に引き出す最大正則性型の線形評価について, Fourier-Herz空間上で研究を進めていきたい.
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