| 研究課題/領域番号 |
22K13937
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 熊本大学 (2023)
東北大学 (2022) |
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研究代表者 |
佐藤 拓也 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 特別研究員(PD) (80910835)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 消散型非線形シュレディンガー方程式 / 長時間挙動 / 解析性 / 減衰評価 / 非線形シュレディンガー方程式 / 時間大域解 / 実解析性 / 初期値境界値問題 / 時間大域挙動 / 適切性 / 終端値問題 / 非線形消散型偏微分方程式 / 大域挙動 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、消散構造を伴う非線形シュレディンガー方程式と非消散型の非線形シュレディンがー方程式に対する解の大域挙動の差異を考える。マクロな流体の運動には流体間に消散性が伴い、系が自然に消滅していく。この法則がミクロな物理スケールにおいてどれほど通用するのかを数学的に問う。そのため消散型の非線形偏微分方程式の諸問題について、時間大域的な解の存在とその時間減衰評価を確立し、減衰オーダーの最適性とその状況を生む解の形状解析を行う。
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| 研究実績の概要 |
非線形消散効果(非線形オーム効果)を含む非線形シュレディンガー方程式に対して、解の質量が減衰する特別な非線形次数のもと、実解析的なクラスにおける解の最適な質量減衰オーダーを導いた。先行研究により滑らかな解ほどその減衰オーダーは早くなることが知られているが、本研究は無限階微分可能な場合の解の長時間挙動に対応している。証明には方程式の対称性に基づいた擬等角変換を用いることで、従来得られていなかった下からの減衰評価を示した。この結果はAnn. Henri Poincar'e Vol.25, No.2, 1693-1709 (2023) に掲載されている。
北直泰氏とJ.Gerelmaa氏(熊本大)とともに消散型非線形シュレディンガー方程式に対する解の長時間挙動を初期値のサイズの制限なしに導いた。証明では方程式に基づくエネルギー評価式から、解の特異性が消失していることを確認し、エネルギー有界となる先験評価をもって解の長時間挙動を導いた。この結果はJournal of Mathematical Sciences Vol.279, 814-823 (2024)に掲載されている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
消散型非線形シュレディンガー方程式の解の最適な質量減衰オーダーを解析的なクラスの枠組みで導くなど、当初の研究目標に沿った成果を得ている。従来、解の長時間挙動が複雑になる特別な非線次数の下では、非線形項を摂動として扱うために初期値にサイズの制限を仮定していた。しかし消散効果を考慮することでサイズの制限が取れつつあり、部分的な解決ではあるが、大きな初期値に対する解の長時間の挙動がわかりつつある。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度以降は擬等角変換や可積分性など方程式に基づいた対称性を利用し、引き続き消散型非線形シュレディンガー方程式の解に対する高階導函数の制御と、解の実解析性による冪級数展開を援用し時間大域挙動の精密化を目指す。
さらに得られた解析手法をより一般の消散-分散型偏微分方程式や連立形の問題、初期値境界値問題、磁場付きの問題、離散型の問題に適用させる。
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