| 研究課題/領域番号 |
22K13941
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 香川大学 |
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研究代表者 |
宮崎 隼人 香川大学, 教育学部, 准教授 (70752202)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 調和振動子 / 散乱問題 / 非線形分散型方程式 / 解挙動 / 散乱理論 / 解の分類 / 分散性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は、非線形分散型方程式と呼ばれる、解である波の位相速度が振動数に依存する性質を持つ微分方程式における解の長時間挙動を解明することである。非線形分散型方程式は、波を空間全体に広げる分散性と、波を集中させる非線形性の相反する性質を持ち、これらの相互作用により解挙動は様々な様相を示すため、その解析は容易ではない。本研究では、調和解析などの解析学の概念を駆使することで、解挙動の解明に寄与する重要な未解決問題の解決を目指す。
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| 研究実績の概要 |
2023年度は、時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式（NLS）について、非線形項が散乱の意味での臨界べきを持つ場合における散乱作用素の構成を行った。散乱作用素を構成するには、与えられた漸近形に時刻負の無限大で漸近するような解を構成する終値問題、与えられた適切なクラスの初期値に対する解が時間大域的であり、さらに特定の漸近形に時刻無限大で漸近することを示す初期値問題の2つの問題を解く必要がある。これら各々の問題が解けることは、時刻負の無限大での漸近形から初期値への写像を意味する波動作用素と、初期値から時刻正の無限大での漸近形への写像を意味する逆波動作用素を与えることを意味し、波動作用素の値域が逆波動作用素の定義域に含まれるとき、散乱作用素を構成することができる。この散乱作用素を構成することは非線形方程式で支配される系における、過去の状態から未来の状態への対応を与えることに繋がる。
本問題について、昨年度に終値問題について期待された結果を得ることができていたので、今年度は初期値問題について研究を進め、おおよそ期待される結果を得ることができた。また、終値問題についても評価を改良し見通しのよいものにできた。これらの結果は川本昌紀氏との共同研究であり、既に論文にまとめ投稿中である。
次に、川本昌紀氏、眞崎聡氏との共同研究として、ゲージ不変でないべき型非線形項を持つポテンシャルを持たないNLSの適切性に関する研究を進めている。現在論文にまとめている段階であり、近日中に公表予定である。
また、昨年度Journal of Differential Equationsに掲載受理されていた川本昌紀氏との共著論文が、無事出版された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2023年度は、継続課題であった時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式の散乱問題の研究について、川本昌紀氏と共著論文を執筆することができた。また、海外講演1件を含む5件の講演を行い、研究成果の発信も定期的に行うことができた。
加えて、3回の研究集会を主催したり国内外の研究会に参加したりすることや、共同研究者との対面での議論を行うことにより、本研究課題に関連する新たな研究も始めることができた。以上を踏まえ、進捗状況をおおむね順調に進展していると評価した。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず継続課題である、ゲージ不変でない非線形項を持つNLSの適切性に関する研究を完成させ論文にまとめる。また、2024年度は本研究課題のテーマの一つである非線形クライン・ゴルドン方程式の定在波の安定性に関する研究に焦点を当て、取り組んでいきたい。予算執行について、一昨年度までの科研費の研究期間を1年延長していたので大きな残額が生じている。共同研究者の招聘や研究連絡、研究集会実施に伴う講演者の招聘等、研究成果に繋がるよう計画を立て、適切に予算執行を行いたい。
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