| 研究課題/領域番号 |
22K13941
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 香川大学 |
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研究代表者 |
宮崎 隼人 香川大学, 教育学部, 准教授 (70752202)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 散乱 / 質量減衰 / 調和振動子 / 散乱問題 / 非線形分散型方程式 / 解挙動 / 散乱理論 / 解の分類 / 分散性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は、非線形分散型方程式と呼ばれる、解である波の位相速度が振動数に依存する性質を持つ微分方程式における解の長時間挙動を解明することである。非線形分散型方程式は、波を空間全体に広げる分散性と、波を集中させる非線形性の相反する性質を持ち、これらの相互作用により解挙動は様々な様相を示すため、その解析は容易ではない。本研究では、調和解析などの解析学の概念を駆使することで、解挙動の解明に寄与する重要な未解決問題の解決を目指す。
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| 研究実績の概要 |
今年度は、非線形シュレディンガー方程式に関する以下の3件の研究を行った。
1件目は、ゲージ不変でないべき型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の散乱問題に取り組んだものである。質量劣臨界の場合において、重み付き関数空間上に属する初期データから出発する小さな解が、時間無限大で自由解に近づく、すなわち散乱することを証明した。本研究は川本昌紀氏、眞崎聡氏との共同研究であり、その成果は総合誌 Mathematische Annalen に掲載された。
2件目は、消散構造を持つべき型非線形シュレディンガー方程式に関するもので、非線形項が解の空間的集中を誘起する場合においても、解の質量が時間とともに減衰することを示した。さらに、先行研究の中でベストな減衰オーダーを、この場合にも導出することに成功した。本研究は北直泰氏、佐藤拓也氏との共同研究であり、成果は論文にまとめ、国際的学術誌に投稿中である。また関連するシステムの場合の質量減衰について、北氏、佐藤氏、佐川侑司氏と共同研究を行い、Journal of Applied Science and Engineeringに論文が出版された。
3件目では、非線形項に位相成分を持たないべき型非線形シュレディンガー方程式に焦点を当て、たとえ初期値が質量臨界空間に属し、滑らかで十分に良い性質を持っていたとしても、解が一般には散乱しないことを明らかにした。この結果は側島基宏氏との共同研究によるものであり、現在論文を投稿中である。
これらに加え、昨年度までに投稿していた2本の論文が、それぞれ Nonlinear Analysis および Differential Equations and Dynamical Systems に無事掲載された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度は非線形シュレディンガー方程式に関する3つの研究成果を挙げることができた。特にゲージ不変でないべき型非線形項を持つ方程式の散乱問題において、質量劣臨界の場合の重み付き空間上の小さな解が散乱することを証明し、Mathematische Annalenに論文を掲載するに至ったことは、非常に大きな成果となった。
また、国際講演4件を含む8件の講演を行い、研究成果の発信も定期的に行うことができた。
加えて、3回の研究集会を主催したり国内外の研究会に参加したりすることや、共同研究者との対面での議論を通して、本研究課題の新たな進展を生み出すことができ、現在複数のプロジェクトが進行中である。
これらの成果や活動を総合的に評価し、研究は概ね順調に進展していると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
予期せぬ研究課題の進展により、昨年度の今後の研究の推進方策に記載した、非線形クライン・ゴルドン方程式の定在波の安定性に関する研究に取り組むことができなかった。今年度は非線形クライン・ゴルドン方程式を中心に本研究課題を遂行したい。また合わせて、現在進行中のゲージ不変でないべき型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に関するプロジェクトを遂行していきたい。
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