| 研究課題/領域番号 |
22K13955
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
佐藤 峻 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 助教 (40849072)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 構造保存数値解法 / exponential integrator / SAV法 / 2次保存量 / 陰的線形スキーム / 常微分方程式 / 微分代数方程式 / 計算量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
微分方程式の数値解法は現代科学の様々な分野において重要な役割を担っている．中でも，数値的に解きづらい問題に対しては，微分方程式の構造 (保存量や対称性など) を尊重した構造保存数値解法が有効である．常微分方程式に対する構造保存数値解法の理論は概ね良く整備されており，近年は計算量を小さくするための工夫が盛んに研究されている．一方で，常微分方程式の一般化である微分代数方程式に対する構造保存数値解法の研究は未だ限定的かつ散発的である．
本研究では，微分代数方程式に対する構造保存数値解法の枠組を整備し，特に近年発展している計算量の小さい構造保存数値解法を微分代数方程式にまで拡張することを目指す．
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| 研究実績の概要 |
微分方程式の数値解法は現代科学の様々な分野において重要な役割を担っている．中でも，数値的に解きづらい問題に対しては，微分方程式の構造 (保存量や対称性など) を尊重した構造保存数値解法が有効である．常微分方程式に対する構造保存数値解法の理論は概ね良く整備されており，近年は計算量を小さくするための工夫が盛んに研究されている．一方で，常微分方程式の一般化である微分代数方程式に対する構造保存数値解法の研究は未だ限定的かつ散発的である．本研究では，微分代数方程式に対する構造保存数値解法の枠組を整備し，特に近年発展している計算量の小さい構造保存数値解法を微分代数方程式にまで拡張することを目指す．
本研究では，まず，常微分方程式に対して，計算量の小さい構造保存数値解法の研究を行なった．前年度に検討した，2次の保存量を保存する高精度かつ計算量の小さい構造保存数値解法，Scalar Auxiliary Variable (SAV) 法，保存的exponential Runge--Kutta法について，さらに研究を進めた．SAV法は，主に偏微分方程式に対して近年盛んに研究されている手法で，補助変数を導入することで計算量の小さい構造保存数値解法を構成する手法である．また，exponential Runge--Kutta法は，線形項をもつ発展方程式に対して，行列指数関数を用いて構成するRunge--Kutta法の変種で，線形項が支配的な場合に有効であることが知られている．本研究では，これらを巧妙に組み合わせることで，高精度でありながら計算量の小さい構造保存数値解法が構成できることを確認した．今年度は，この手法を非線形Klein--Gordon方程式に適用した際に，他の保存的PDEの場合よりも計算効率がよくなることを発見した．また，この結果を論文にまとめ，採択された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度は，常微分方程式に関する研究が進展した．現段階では微分代数方程式に対して適用はしていないが，その素地は整ったと言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に行った常微分方程式に対する研究のさらなる発展を目指す．また，それとともに，微分代数方程式への適用も目指す．
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