| 研究課題/領域番号 |
22K13959
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 山梨大学 (2023)
広島大学 (2022) |
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研究代表者 |
小松 尭 山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (90869794)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 量子ウォーク / 今野・佐藤の定理 / 伊原ゼータ関数 / Zeta Correspondence / Metzler行列 / 正則被覆グラフ / 非正則被覆グラフ / Voltage assignments / 古典ランダムウォーク / 定常測度 / 転送行列 / 本質的スペクトル / 一般化固有関数 / 局在性 / 定常性 / 再帰性 / スペクトル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
量子ウォークは通常のランダムウォークの量子版 (非可換類似物) として導入され、量子コンピュター周辺の分野より2000年頃から本格的に始まった新しい研究分野である。また、量子アルゴリズムの基本モデルとしても注目を集めている。本研究では、量子ウォークの3つの性質に焦点を当てる。1つ目は、量子ウォークの定常性に関して考察する。2つ目は、通常のランダムウォークでは見られない局在性である。この性質と量子ウォークの時間発展作用素の固有値が密接に関わっている。3つ目は、量子ウォークの再帰性である。これらを主軸に量子ウォークの数理的構造を明らかにすることで、諸性質を理解し、応用まで考えることを目的とする。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は量子ウォークの数理的構造を明らかにすることを目的としており、今年度は次の研究を行なった。
(1)2021年にグローヴァーウォークと伊原ゼータ関数の関係を述べた論文では無限グラフ上の2種類のゼータ関数の明示公式が求められており、我々が得た結果とChinta et al.や Clairが得た伊原の公式の表現と一致している点が大変興味深い。本論文では、有限グラフであるトーラスを通して無限グラフ上のゼータ関数の明示公式を求めており、その際に今野・佐藤の定理が重要な鍵となっていた。そこで、本年度は正則被覆グラフまたは非正則被覆グラフ上の今野・佐藤の定理に焦点を当てた。被覆変換群が有限群の場合には、正則被覆グラフとOrdinary voltage assignmentを用いて構成される被覆グラフは同値であり、非正則被覆グラフとPermutation voltage assignmentを用いて構成される被覆グラフは同値であることが知られている。これを利用して、被覆グラフ上の今野・佐藤の定理に関する結果を得た。現在論文を執筆中である。本研究は今野紀雄氏(立命館大学)、佐藤巌氏(小山工業高等専門学校)、三橋秀生氏(法政大学)との共同研究である。今後は、被覆変換群が無限群の場合を扱っていく予定である。
(2)グローヴァー/ゼータ対応で得られた結果はウォークの世界にまで拡張される(厳密には、ウォーク以外にも適用が可能)。また、Masuda, Preciado and OguraによってMetzler行列の最大固有値を用いて確率的SIS (Susceptible-Infected-Susceptible)モデルの減衰率の下界が与えられた。我々はこのMetzler行列に対してウォーク/ゼータ対応(ウォーク型ゼータ関数)の議論を行なった。得られた結果は論文「Metzler/Zeta Correspondence」にまとめられ2023年にDiscrete Mathematicsに掲載された。本研究は井手勇介氏(日本大学)、今野紀雄氏(立命館大学)、佐藤巌氏(小山工業高等専門学校)との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究課題の一つである、「被覆グラフ上のグローヴァーウォークとゼータ関数との対応関係」に関する結果は出ている。しかし、量子ウォークの諸性質を利用した「ネットワークのコミュニティ抽出への応用」への研究進度は遅れている状況にあり、進展は少なかった。以上を総合して、「やや遅れている」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の課題として、次の三つを考えている。一つ目は、被覆グラフ(無限グラフ)上の量子ウォークとグラフゼータ関数との対応関係を調べることである。引き続き、今野紀雄氏(立命館大学)、佐藤巌氏(小山工業高等専門学校)、三橋秀生氏(法政大学)との研究打ち合わせを続けていく。二つ目は、ウォークの側面からリーマンゼータ関数やL関数などの特殊値を調べることである。これは、2022年にQuantum Information Processingに掲載された論文「Mahler/Zeta Correspondence」の続きの内容である。三つ目は、量子ウォークの諸性質を利用した「ネットワークのコミュニティ抽出」への応用を行いたいと考えている。ネットワーク科学の専門家に助言をもらい、研究を推進していく予定である。
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