| 研究課題/領域番号 |
22K13962
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 武蔵野大学 |
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研究代表者 |
森 竜樹 武蔵野大学, 工学部, 講師 (00786783)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | 反応拡散方程式 / 非局所 / 非線形境界値問題 / 楕円関数 / 完全楕円積分 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
保存量を持つ現象を積分制約条件付き反応拡散系で記述した数理モデルの一般的な解析手法の探索のための情報を得るために，非局所Allen-Cahn方程式，SKT交差拡散方程式，非局所Fix-Caginalp方程式に対して，大域的解構造と解の安定性の解析を行う．本研究により，従来解析不可能であったいくつかの非局所性を持つ数理モデルの解挙動の理解と一般的な解析手法の足掛かりが得られることが期待される．
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| 研究実績の概要 |
2023年度は主に、本研究課題の目標であった、(B)「非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明」について取り組んだ。非局所Fix-Caginalp方程式の定常問題の解の安定性についての解析を行った。昨年度までで、本問題の解は定数解、対称解、非対称解の３つに分類できることがわかっている。まず、定数解と非対称解については、解構造が単純となるパラメータ設定の元、数値的に安定性を調べた。定数解と非定数解がともに安定となるパラメータ領域が存在すること、定数解が不安定で非定数解が安定となるパラメータ領域が存在することや、ハイモードの対称解は不安定で、１モードの解のみが安定となることを数値的に確認した。この結果より、解構造が単純であっても安定性は複雑に切り替わることが明らかとなった。本結果は、論文として発表を行った。
次に、対称解については、昨年度に得た非局所Allen-Cahn方程式、細胞極性モデルの解の安定性の結果を応用することで、2次分岐点周りでの安定性がどのように変化するか示すことができた。この問題に現れる2次分岐はピッチフォーク型であり、対称性が崩れた解が２つと対称性が保たれたままの解が１つに分岐する。1次分岐が起こる拡散係数の値から小さくしていくと、対称解は２次分岐点まで不安定である。2次分岐点で、不安定固有値は対称性が崩れた解に引き継がれることで、対称解が安定化することがわかった。この結果は現在論文として執筆中である。
また、（A）：「非局所Allen-Cahn方程式の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明」と密接に関連する細胞極性モデルの拡散係数が有限の場合の厳密解について考察を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題で目標としている（A）：非局所Allen-Cahn方程式の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明，（B）：SKT交差拡散方程式の拡散係数を止めるごとの解の個数と安定性の解明，（C）：非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明の３つの問題について研究計画通り進展している。
（A）について、密接に関連する細胞極性モデルの拡散係数が一般の場合の厳密解に関する考察を行うことで、拡散係数が一般の場合の非局所Allen-Cahn方程式の解析法の足掛かりができた。
（C）については、対称解の安定性を数学的に示すことが出来たので、結果を論文として執筆している最中である。
（B）については、拡散係数を無限大としたある極限方程式の解構造の解析の際に現れる膨大な数式の処理を行う方法を模索している状況である。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在執筆中である、非局所Fix-Caginalp方程式の定常問題の対称解の安定性に関する論文を仕上げ、発表する。さらに、非対称解についての安定性がどうなっているのか、数値的に調べる。また、本結果は非局所Allen-Cahn方程式の解の安定性と密接に関連しており、応用することで、解の安定性を示すことが出来るかどうかの検討を行う。SKT交差拡散方程式の拡散係数を止めるごとの解の個数と安定性の解明に関しては、上記２つで得られた計算方法を応用・発展させることで、膨大な数式を処理する方法の確立を目指す。
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