| 研究課題/領域番号 |
22K13966
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 群馬工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
延東 和茂 群馬工業高等専門学校, 一般教科(自然), 助教 (90822304)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2025年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 130千円 (直接経費: 100千円、間接経費: 30千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | セルオートマトン / 確率セルオートマトン / 確率過程 / 離散可積分系 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
連続な時間発展系として微分方程式が存在するのに対し、離散的な時間発展系の一種としてセルオートマトンと呼ばれるクラスが存在する。微分方程式に対しては数理構造の研究だけでなく、様々な現象を説明する数理モデルとしての応用研究が盛んにおこなわれてきたが、セルオートマトンも近年現象数理モデルとしての注目を集めている。しかしセルオートマトンの数理構造の解明は微分方程式に関するものと比して十分とは言い難い状況にある。そこで本研究は、特に確率的に挙動するセルオートマトンに関して、可積分系、確率過程における手法を用いながら、一般的な系に対して適用可能な厳密解析手法を提案することを目指す。
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| 研究実績の概要 |
本年度はまず、セルオートマトンの多近傍拡張系における漸近的な物理量に関する研究を行った。具体的には、5近傍粒子セルオートマトンの漸近挙動における流束の保存量密度依存性を示す、基本図と呼ばれる関係式の導出を行った。基本図は通常、系の粒子密度と、粒子の移流により発生する流束の関係を表す2次元図だが、多近傍系のほとんどは粒子密度に対して流束が一意に定まらず、基本図を一価関数として理論的に導出することができなかった。しかし、5近傍系のうち粒子密度以外にも保存量を持つ系については、複数の保存量に依存して流束が一意に定まることが予想されていた。本研究では、決定系と確率拡張系のそれぞれについて、5近傍粒子セルオートマトンの3次元基本図を理論的に導出することに成功した。
次に、確率的に拡張されたセルオートマトンの局所的な漸近解同士の関係式である、分解仮設について考察を行った。分解仮設は空間周期が無限大であるような条件の下で成り立つと予想されている関係式だが、空間が有限であるような条件下で厳密に導出された漸近解の熱力学的極限を経て導出されるのではないかと予想し、超幾何関数の一般的な性質を用いた極限計算を行った。具体的には、有限系における定常分布がGKZ超幾何級数と呼ばれる特殊関数の比で表されることに着目し、それらが満たす常微分方程式をもとに隣接関係式を導出し、隣接関係式の極限として熱力学的極限の計算を行った。
これらの研究結果をもとに、本年度は1件の国内研究集会での発表を行い、1件の査読付き論文を出版した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究の最終的な目標は、確率セルオートマトンを網羅的に厳密解析する手法を開発することである。研究実績の概要の前半で述べた、5近傍拡張系の3次元基本図の導出は、多近傍系の漸近挙動の解析に広く汎用性を持って適用できると期待しており、最終目標の達成の端緒となりうる。
一方、分解仮設の熱力学的極限による導出では、最終的な計算結果が合致せず、現在も試行錯誤が続いている。分解仮設は無限周期系における基本図の導出に際し重要な役割を果たす関係式であり、その理論的導出の達成は厳密解析手法を開発するためにも強く望まれている。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究によって収集した多近傍系のうち、複数の保存量を持つ系を選別し、それらの高次元基本図を導出する。これにより、本年度の研究結果の汎用性を示すことができ、確率セルオートマトンの網羅的な解析手法の開発を発展させることができると考えている。系の複雑さが増すと、3次元にとどまらず、より高次元な流束の保存量密度依存性が導出できると予想しており、そのような結果も収集する。
分解仮設の熱力学的極限を用いた導出に関しては、超幾何級数の一般的性質を用いた計算に誤りがないか再度点検するとともに、「無限周期系による漸近解（分解仮設）と有限周期系における漸近解が極限によって対応付けられる」という予想そのものを見直す必要もあると考えている。その際には測度論的により厳密な考察が必要になると考えられるので、当該分野の研究者との情報交換や共同研究を視野に入れて研究を推進する。
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