| 研究課題/領域番号 |
22K18267
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| 研究種目 |
挑戦的研究(開拓)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| 研究分担者 |
櫻井 大督 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (50772547)
山本 卓宏 東京学芸大学, 教育学部, 教授 (60435972)
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| 研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
26,000千円 (直接経費: 20,000千円、間接経費: 6,000千円)
2027年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2026年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 5,200千円 (直接経費: 4,000千円、間接経費: 1,200千円)
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| キーワード | Reeb空間 / Reebグラフ / Reeb complement / 多重次元Reebグラフ / 特異点消去 / 区分的線形写像 / round fold map / モノドロミー / モース関数 / 境界付き曲面 / 微分トポロジー / データ可視化 / ねじれ / Reeb図式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，微分トポロジー，特に特異点論とモノドロミーを用いてデータ可視化の革新的新手法の確立を目指す．具体的には，ファイバーの連結成分を記述するReeb空間を0次元ホモロジー群の図式で再解釈し，それを拡張して一般の位相不変量を考えることで，Reeb図式の概念を定式化し，データの大域構造を記述する理論的基盤を構築する．さらにデータのねじれをモノドロミーとして可視化する新手法を，情報科学者との協働により開発し，実装する．これにより，データが欠損していても可視化が可能となるなどの特性を備えたデータ可視化の革新的技法を確立して，諸科学分野での新たな発見を導く．
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| 研究実績の概要 |
佐伯は、コンパクト多様体上の可微分関数が与えられたとき、そのReeb空間が有限グラフの構造を持つための必要十分条件を、レベル集合の各連結成分がその近傍をどのように切断するかという観点から、与えることに成功した。ここでReeb空間とは、レベル集合の連結成分全体のなす空間である。これまで多くの場合にグラフ構造を持つことは知られていたが、その特徴づけを得られた意義は大きい。これにより、データ可視化へReeb graphが活用できるための条件が厳密に決定できたことになり、こうした結果を得られた意義は大きい。さらに、3 次元多様体上に2つの実数値関数が与えられたとき、それらのレベル集合の位置関係を記述する際の基礎となる概念としてReeb complementという数学的対象を分担者の櫻井らとともに初めて定義し、具体的なデータに対してそれを求めるアルゴリズムを開発する研究に着手した。また、3次元多様体上に2つの区分的線形写像が平面への写像として与えられたとき、そのReeb空間を、多重次元Reebグラフを用いて求めることができることを数学的に証明し、与えられたデータに対してそれを求めるアルゴリズムを開発することに着手した。
また、分担者の山本は、境界付きコンパクト曲面から平面への可微分写像でジェネリックなものを考察し、その境界に現れる特殊な特異点の消去について成果を得た。実データの解析や可視化の際には、データが与えられるドメインはコンパクトで境界付きの多様体となることが想定されるため、こうした結果は、そうしたデータの位相的振る舞いを記述する際に重要な役割を果たすことが期待される。
また、分担者の櫻井は、区分的線形写像を可視化するための実装に取り掛かり、具体的な可微分写像について、それを区分的線形写像として実現した際の可視化について、実装の諸段階を完了させた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究では、データを多様体間の可微分写像の離散サンプルであると考え、微分トポロジー、特に特異点論とモノドロミーを用いてデータ可視化の革新的新手法の確立を目指すことが目的である。これまで、特異ファイバーの分類に基づいたデータ可視化手法が開発されてきているが、データの大域構造、特にそのねじれは可視化できていない。そこで本年度は、モノドロミーが重要な役割を果たすことが期待される状況でも、Reeb空間やReebグラフといった既知の概念が活用できれば、そうした手法がより活用しやすくなるため、そのための条件について研究した。特に、Reeb空間がグラフ構造を持つための必要十分条件が決定できたことは、本研究が順調に進んでいることを意味する。我々はさらにこうした結果を用いて、データのねじれをモノドロミーとして可視化する新手法を、情報科学者との協働により開発し、ユーザーインターフェースとして実装することも目指しているが、本年度は櫻井がそうした実装に着手すべく、そのためのアルゴリズム的観点からの第一段階を構築できた。以上のことから、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は令和4年度に研究したround fold mapだけではなく、モノドロミーが重要な役割を果たす可微分写像の研究を進め、そうした写像の不変量を、Reeb空間やReebグラフも活用しつつ、探していく。それにより、より複雑な写像に対しても、モノドロミーの可視化が実行できることが期待される。また当初の計画では、ファイバーの連結成分を記述するReeb空間を0次元ホモロジー群の図式で再解釈し、それを拡張して一般次元のホモロジー群などの位相不変量を考えることで、Reeb図式の概念を定式化することも目標としてきた。今後はこの方面での研究を推進していく必要がある。これにより、写像の大域構造を記述する理論的基盤を構築することが目的である。こうした新概念は特異写像の研究において画期的なもので、多様体の新しい不変量の開発や、力学系などの他分野への応用も期待される。そこでこうした方面での研究を引き続き推進する。そのため、既存の特異ファイバーの分類によってReeb空間の局所構造を再確認し、それらの大域的つながり具合を定式化すべく、ホモロジーの自己同型写像のなす群、あるいは写像類群を有効に用いて研究を推進してゆく。
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