| 研究課題/領域番号 |
22K18672
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 一橋大学 |
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研究代表者 |
川平 友規 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (50377975)
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| 研究分担者 |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
田中 亮吉 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80629759)
島内 宏和 八戸工業大学, 工学部, 准教授 (90759200)
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| 研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
2024年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2023年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | リーマン面 / 離散リーマン面 / 擬等角写像 / ベルトラミ方程式 / 離散擬等角写像 / タイヒミュラー空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
古典的なリーマン面の解析的理論(たとえば，リーマンロッホの定理)と等角写像の理論(たとえば，リーマンの写像定理)を離散化する試みは，パーコレーションや平面イジング模型との関連から近年活発に研究されている.離散化にはいくつかの流儀が存在するが，離散化に用いる三角形分割やグリッドを精細にすることで連続版の(ようするに，普通の)リーマン面の理論が近似できる，という点で共通している.本研究課題は，既存の離散化理論を改良する形で，リーマン面の変形理論である「タイヒミュラー理論」と，その変形を実現するツールである「擬等角写像」に対し，離散化と数値的近似手法の確立を目指す.
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| 研究実績の概要 |
古典的なリーマン面の解析的理論（たとえば，リーマンロッホの定理）と等角写像の理論（たとえば，リーマンの写像定理）を離散化する試みは，パーコレーションや平面イジング模型との関連から近年活発に研究されている．離散化にはいくつかの流儀が存在するが，離散化に用いる三角形分割やグリッドを精細にすることで連続版の（ようするに，普通の）リーマン面の理論が近似できる，という点で共通している．本研究課題は，既存の離散化理論を改良する形で，リーマン面の変形理論である「タイヒミュラー理論」と，その変形を実現するツールである「擬等角写像」に対し，離散化と数値的近似手法の確立を目指すものである．2022年度は，以下のような研究活動を行った．
・2022年11月には東京工業大学において代表者・分担者全員が集合するプロジェクト・ミーティングの機会をもち，上記の問題意識の共有を行った．さらに，タイヒミュラー空間におけるサークルパッキング点の可算稠密性や，それらの点が代表するナーブが生成するサークルパターンがタイヒミュラー空間を被覆するか，といった問題について勉強会を行った．
・代表者・川平と分担者・島内はコンパクトサポートをもつベルトラミ方程式の解の近似方法について議論を行った．また，線形系を用いたベルトラミ方程式の新しい解法について議論を行った．
・代表者・川平は，複素力学系理論の研究集会において，ベルトラミ方程式の数値解法を用いた力学系の変形とその可視化に関する講演を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
パンデミックで状況が緩和され，全員が対面で集合するプロジェクト・ミーティングを1度行えたことは大きかったが，3月に予定していた第2回のプロジェクト・ミーティングは代表者自身の都合がつかず延期となった．可能であれば2023年度中にZoom等で開催したい．
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| 今後の研究の推進方策 |
・第2回プロジェクト・ミーティングを実施し，離散リーマン面の理論について勉強会を行う．
・タイヒミュラー空間の可算サークル・パターン被覆問題について研究を行う．
・ベルトラミ方程式の精度保証つき数値計算について，情報収集を行う．
・ベルトラミ方程式の解の近似アルゴリズムで現在知られているものに対し，精度保証つき数値計算を試みる．
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