| 研究課題/領域番号 |
22K18673
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| 研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
6,370千円 (直接経費: 4,900千円、間接経費: 1,470千円)
2024年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2022年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
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| キーワード | 超局所解析 / 波動方程式 / 自己相似解 / Stricharz 評価式 / 平滑化評価式 / 分散型方程式 / 双曲型方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
偏微分方程式において微分を多項式に対応させることにより得られるいわゆる表象は，対応する方程式の解に関する様々な情報の宝庫である．実際，偏微分方程式の解の特異性の位置などの定性的な情報を表象から抽出する方法論が，超局所解析の手法により既に確立されている．しかしながら解のなめらかさや大きさなど定量的な情報の抽出法については，依然としてその多くが未開拓のままである．この研究は，そのための様々な手法を模索しそれらを統合する形で，この眠れる鉱脈を掘り起こすための「定量的超局所解析」とでも言うべき一つの方法論を確立することを目指すものである．
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| 研究実績の概要 |
この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．そのためには，偏微分方程式解のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探ることがまずは重要と考えられるが，今年度は特に波動方程式に焦点をあて，その非線形問題の解を具体的に構成し今後の研究の方向性の指針とすることを試みた．これまでに冪型の非線形項をもつ波動方程式の初期値問題に対して，冪の指数がある範囲にとどまっていれば自己相似解が存在することが先行研究により示されていた．しかしながら，これらはあくまでも「存在証明」であり，自己相似解がどのような形をしているのかに関する知見までは得られていなかった．このような状況のもと今年度の研究成果により，超幾何函数を用いて具体的に自己相似解を構成するという新しい手段を得ることができた．さらに，この手法がスケール不変型の消散型波動方程式に対しても適用可能であることを見出し，これにより，時間大域解が存在するための臨界冪指数のシフト現象に対する新しい解釈を与えることが可能になった． また．これと並行して，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する評価に関して，様々な知見が進むシュレデインガー方程式に対する評価式から導出する方法論の構築も試みた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの研究により，自己相似解が存在するための非線形項の冪の指数に対する条件は，超幾何関数の挙動から理解できるようになった．このように，非線形方程式の解の具体的な構造を見ることにより定量的性質をとらえることができた点は，今後の進展へと繋がる重要な成果と考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは，これまでに成果が上がっている自己相似解を具体的に構成する手法を，他の様々な方程式に対しても試みることにより，この方面での知見を拡げていきたい．同時に，波動方程式の Lp評価に関する課題に対しても重点的に取り組んで行きたい．具体的には，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する Lｐ-評価に関して，既に様々な知見が得られているシュレデインガー方程式に対するLp-評価から導出する方法論の構築を試みたい．さらには分散型方程式の時空間評価において，局所的なものから大域的なものを導出する方法論を構築したい．これらはいずれも定量的な解析において超局所解析の手法を適用する典型例となることが期待される．
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