| 研究課題/領域番号 |
22K18673
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| 研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
6,370千円 (直接経費: 4,900千円、間接経費: 1,470千円)
2024年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2022年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
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| キーワード | 超局所解析 / 波動方程式 / 自己相似解 / Stricharz 評価式 / 平滑化評価式 / 分散型方程式 / 双曲型方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
偏微分方程式において微分を多項式に対応させることにより得られるいわゆる表象は，対応する方程式の解に関する様々な情報の宝庫である．実際，偏微分方程式の解の特異性の位置などの定性的な情報を表象から抽出する方法論が，超局所解析の手法により既に確立されている．しかしながら解のなめらかさや大きさなど定量的な情報の抽出法については，依然としてその多くが未開拓のままである．この研究は，そのための様々な手法を模索しそれらを統合する形で，この眠れる鉱脈を掘り起こすための「定量的超局所解析」とでも言うべき一つの方法論を確立することを目指すものである．
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| 研究実績の概要 |
この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．今年度も引き続き波動方程式に焦点をあて，方程式のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探るための研究を行った．具体的には，昨年から引き続き自己相似解に関する研究および基本解のLp評価に関する研究を行った．自己相似解に関しては，昨年までの研究により冪型の非線形項をもつ波動方程式やさらにスケール不変型の消散型波動方程式に対して，それらの初期値問題に対する自己相似解の超幾何函数を用いた具体的な構成法を開発しており，本年度はそこから読み取ることができる定量的性質に関する情報の整理を行った．主な成果としては，自己相似解が存在するための非線形項の冪の指数に制限がかかるメカニズムや，消散項の存在が時間大域的解の存在に与える影響などが，この具体的に構成された解の形から直接理解することができるようになった．基本解のLp評価に関しては，これまでSeeger-Sogge-Steinによりユークリッド空間上の波動方程式の初期値問題の基本解に対するLp評価が知られていた．そこで多様体上の場合などより一般の状況にまで拡張できるかが問題となるのだが，このような結果はほとんど調べられていない．シュレデインガー方程式に対する同種の一般化は近年盛んに調べられるようになっており，そこから波動方程式に対する場合を導出する方法論などを模索したが，その成否は今後の課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの研究により，自己相似解が存在するための非線形項の冪の指数に対する条件は，超幾何関数の挙動から理解できるようになっていたが，今年度はその構造をさらに深く解析することにより，波動方程式の解の定量的性質をより多角的に理解できるようになった点は，今後の進展へと繋がる成果と考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
非線形方程式に対して解を具体的に表現することは，その定量的性質を直接的に理解するための有効な手段である，これはもちろん一般には困難なことであるが，これまでに成果が上がっている波動方程式に対する手法を，シュレデインガー方程式など他の方程式に対しても試みることにより，この方面での知見を拡げていきたい．また多様体上などの一般的な状況における初期値問題の基本解に対する Lｐ評価に関しては，既に様々な知見が得られているシュレデインガー方程式など他の方程式に対する手法をもとに，波動方程式の場合に対するアプローチを探っていきたい．これらはいずれも定量的な解析において超局所解析の手法を適用する典型例となることが期待される．
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