| 研究課題/領域番号 |
22K18675
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
塩沢 裕一 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60454518)
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| 研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | ブラウン運動 / 双曲空間 / Berry-Esseen 型定理 / エレファントランダムウォーク / マルコフ過程 / 分枝ブラウン運動 / 線形増大 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の究極的な目標は，マルコフ過程の生成作用素の L2 スペクトル下限が正値であるという条件だけで，線形増大度に関する現象の仕組みを統一的に規定することである。そして本研究の目的は，典型的モデルの解析を通じて，究極的な目標を達成するために着目すべき点を絞ることである。具体的には，分枝ブラウン運動の最大値過程と，リーマン多様体上のブラウン運動の動径過程に対して極限定理を確立する。
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続いて、双曲空間上のブラウン運動に対する Berry-Esseen 型定理の研究に取り組んだ。前年度末の時点では、空間次元が 3 のときに限って Berry-Esseen 型定理を得ていた。本年度は、空間次元が一般の場合に Berry-Esseen 型定理を得ることができた。特に、収束レートは通常の Berry-Esseen 型定理と変わらないことが分かった。さらに、空間次元が 2 もしくは奇数のときには、今回得た収束の速さが精密であることも示した。
前年度末の時点では、一般の空間次元の場合を扱うために、Gruet (1996) による、推移確率の積分表示を積極的に取り入れる方針に変更した。本年度は実際に、この方針に沿って計算を実行することを試みた。しかし、先に述べた積分表示の解析が難しく、計算を進めることができなかった。そこで方針を変更し、Millson の公式と呼ばれる、異なる次元に対応する推移確率たちに関する再帰式を用いることにした。すると、この公式と部分積分の公式とを繰り返し適用することで、分布に関する計算を実行することが可能となり、Berry-Esseen 型定理を証明するに至った。
この研究成果を論文にまとめて投稿した。さらに、本成果について研究集会「Dirichlet Forms and Related Topics」および「確率解析とその周辺」で発表するとともに、結果の一般化の可能性などについて参加者と議論した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
双曲空間上のブラウン運動に対して Berry-Esseen 型定理を得ることができた。一方で、本研究を遂行するための方針が定まらず、想定よりも時間がかかったため、分枝ブラウン運動の解析には着手できなかった。しかし、研究計画全体としては進捗が認められる。
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| 今後の研究の推進方策 |
一般の偶数次元の双曲空間上のブラウン運動に対して、Berry-Esseen 型定理における収束の速さの精密性については、現時点では不明である。精密性を解明するのが残された課題である。また、今回得た結果をより一般の確率過程に拡張する可能性について、研究集会で発表した際に参加者と議論を行ったので、本年度も議論を継続する。
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