研究課題/領域番号 |
22K18677
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研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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研究機関 | 芝浦工業大学 |
研究代表者 |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
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研究分担者 |
榊原 航也 岡山理科大学, 理学部, 講師 (30807772)
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研究期間 (年度) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
2024年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2023年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2022年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
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キーワード | 離散複素解析 / 離散正則性 / コーシーの積分表示 / 離散円周率 / コーシーの積分定理 / メッシュ分割 |
研究開始時の研究の概要 |
複素平面上で定義される複素数値関数の解析学である複素解析学は、数学のみならず工学等における応用でもよく活用されている数学の理論の1つです。本研究では、その離散的対応物である離散複素解析学の基盤を作ることです。このような研究は20世紀前半より進められてきましたが、複素平面の離散化の形状に制限がありました。これは、複素関数論で重要となる正則性の離散版の定義に起因します。本研究では、この離散正則性の定義をコーシーの積分定理を基礎に見直し、複素平面の離散化に対する制限を完全に取り払い、任意の平面分割上での離散複素解析学の構築のための基礎を確立します。
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研究実績の概要 |
複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル(離散化された積分路)に依存して定まる離散円周率を導入した。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
やや遅れている点としては、現在得られている離散コーシーの積分表示は、関数値を表示する点から最も近いところを回るサイクルのみで計算を行っており、より一般的なサイクルに対する表示はまだ得られていない。この点は現在取りかかっており、概ね順調と判断している。
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今後の研究の推進方策 |
上に記したようにより一般的なサイクルに対するコーシーの積分表示や高階微分の積分表示に対応する離散版の表示公式の導出が最初の課題となる。また、平均値に関する考察や最大値原理に対する考察を順次進めていく。
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